茎与分离预层stalk

说明

证明。 1. 拓扑斯态射 $\hat x = (\hat x^{$}, \hat x_{}) 的拉回是「在 $x$ 处的纤维」，而层在一点的纤维就是茎 $T_{x} = \varinjlim_{x \in U} T(U)$ ✓（余极限沿 $x$ 的邻域取 —— 邻域按包含构成滤过范畴）。 2. 验证伴随关系 $\operatorname{Hom}(T, \hat x_{$}E) \cong \operatorname{Hom}(\hat x^{}T, E)：左边是一个自然变换，在 $U \ni x$ 处给出 $T(U) \to E$，相容性说明它们「在限制下对应同一个元素」✓；这样的相容族恰好是

（第一个等号是「反变的 Hom 把余极限送成极限」）。$x \notin U$ 时该层取值 $\emptyset$，覆盖上的相容族只能落在空集里 —— 不存在，故仍是层 ✓。左伴随 $\hat x_{!}$ 同理（把 $E$ 摆在 $x$ 的邻域上，别处放空集）✓。 3. $(\Longrightarrow)$ 设 $s, t \in T(U)$ 在每个茎里相等。对每个 $x \in U$：$s$ 与 $t$ 在 $T_{x}$ 里相等，意味着存在开邻域 $U_{x} \subseteq U$（$x \in U_{x}$）使 $s|_{U_{x}} = t|_{U_{x}}$ ✓。$\{U_{x}\}_{x \in U}$ 是 $U$ 的开覆盖，由分离性得 $s = t$ ✓。 $(\Longleftarrow)$ 反过来设 $s, t \in T(U)$ 在某个开覆盖 $(U_{i})$ 的每支上相等。任取 $x \in U$，取一支 $U_{i} \ni x$，则 $s$ 与 $t$ 在 $x$ 的邻域 $U_{i}$ 上相等，故它们在茎 $T_{x}$ 里相等 ✓；这对一切 $x \in U$ 成立，由单射性得 $s = t$ ✓。∎

⭐ 一句话：「分离」=「在每个点的茎里都相等就能推出整体相等」。层比分离预层多的那一步（相容族的粘合）在茎里是看不出来的 —— 这正是「分离」与「层」的差别。