有效等价关系

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 满-单分解推出
  预拓扑斯 $\implies$ 满-单分解

  设 $f : X \to Y$。取核对 $R := X \times_{Y} X$，它是 $X$ 上的等价关系。由预拓扑斯第 3 条，等价关系有效，所以可以取商

  $$\overline{X} := X/R = \operatorname{coker}(R \rightrightarrows X)$$

  两条投影在 $f$ 下相等，故 $f$ 穿过商，得到分解

  $$f : X \twoheadrightarrow \overline{X} \xrightarrow{\ l\ } Y$$

  $l$ 是单态射。 设 $g, h : Z \to \overline{X}$ 且 $l \circ g = l \circ h$。因为 $\overline{X} = X/R$，把 $g, h$ 与商映射 $\pi$ 一起拉回：考虑 $V$ 使方块

  $$\begin{array}{ccc} V & \longrightarrow & Z \\ \downarrow\scriptstyle{(g_0,h_0)} & & \downarrow\scriptstyle{(g,h)} \\ X \times_{X} X & \xrightarrow{\ \pi \times \pi\ } & \overline{X} \times \overline{X} \end{array}$$

  笛卡尔。由 $l \circ g = l \circ h$ 得 $l \circ \pi \circ g_{0} = l \circ \pi \circ h_{0}$，即 $f \circ g_{0} = f \circ h_{0}$。于是 $(g_{0}, h_{0})$ 的像整个落在 $R = X \times_{Y} X$ 里 —— 换句话说 $(g_{0}, h_{0})$ 穿过 $R$。

  再由 $\overline{X} = \operatorname{coker}(R \rightrightarrows X)$ 的泛性质（两条投影的余等化子），$\pi \circ g_{0} = \pi \circ h_{0}$，于是 $g = h$。所以 $l$ 是单态射。

  唯一性。 若 $f = X \xrightarrow{\ \pi'\ } X' \xrightarrow{\ l'\ } Y$ 是另一个满-单分解，则由 $l'$ 是单态射得 $R = X \times_{X'} X$。记 $\pi'$ 为满态射，由第 4 条它是正则的，即 $\pi' = \operatorname{coker}(X \times_{X'} X \rightrightarrows X)$；把 $X \times_{X'} X = R$ 代进去得 $\pi'$ 与 $\pi$ 是同一个余等化子。于是存在互逆的 $\overline{X} \rightleftarrows X'$，$X' \cong \overline{X}$。∎

  平衡性。 若 $f$ 既满又单，则 $R = X \times_{Y} X \cong X$（单态射的等价刻画），故 $\overline{X} \cong X$，$f \cong l$ 是单态射；又 $f$ 已是单态射，故 $f$ 是同构。∎

  严格性。 上面的分解把 $\operatorname{im} f$ 与 $\operatorname{coim} f$ 都算成了 $\overline{X}$，所以它们同构。∎

  整条证明只用了一个构造「取核对再取商」和一组事实「等价关系有效 + 满态射正则」。这正是预拓扑斯那四条公理想换来的东西。

定义引用 4

• 层化与等价关系交换 用到 本页定义引用

  命题说的是层化与等价关系、商的交换。

• 可表示性的下降 用到 本页定义引用

  把 $F$ 实现成 $X/R$ 这一步用的是等价关系有效。

• 预拓扑斯 用到 本页定义引用

  第 3 条要求等价关系有效。

• Cond 的等价关系有效 用到 本页定义引用

  结论断言这些等价关系有效。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 等化子 / 余等化子 → 本页定义引用

  $\overline{X} := \operatorname{coker}(R \rightrightarrows X)$ 是余等化子。

• 纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

  有效性说的是 $R \cong X \times_{\overline{X}} X$，一个纤维积。