Čech 函子的性质

Čech 函子的三条性质

命题
依赖深度 layer 17
范畴论
层与拓扑

prop.cech-properties · 范畴论 · 层化 · 左正合

又称Cech 函子的性质·左正合·Lemma 3.2.6

陈述

$\widehat{H}$ 左正合（保有限极限）；
$T$ 是预层 $\implies$ $\widehat{H}(T)$ 分离； $T$ 分离 $\implies$ $\widehat{H}(T)$ 是层；
$T$ 是分离的（层） $\iff$ $T \to \widehat{H}(T)$ 是单态射（同构）。

说明

证明。 记 $\widehat{H}(T) := \varinjlim_{(X_{i}\to X)}\check{H}^{0}\bigl((X_{i}),T\bigr)$ ，其中 $\check{H}^{0}$ 是 $\prod_{i}T(X_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j}T(X_{i}\times_{X}X_{j})$ 的等化子。 1.（左正合） $T \mapsto \check{H}^{0}((X_{i}),T)$ 只用到 $T$ 的取值与拉回，是有限极限（积 + 等化子）的复合，故保有限极限；而 $\mathbf{Set}$ 里的滤过余极限正合（与有限极限交换）✓。两者合起来给出 $\widehat{H}$ 左正合 ✓。 2.（分离 / 层） $\widehat{H}(T)(X)$ 的元素是「某个覆盖上的相容族」，两个元素相等 $\iff$ 存在公共细化使它们在那上面一致（滤过性）。于是：若它们在某个覆盖的每支上相等，则在该覆盖上就已经相等，故 $\widehat{H}(T) \to \prod_{i}\widehat{H}(T)(X_{i})$ 单 —— 即 $\widehat{H}(T)$ 分离 ✓。进一步，若 $T$ 分离，任何 $\widehat{H}(T)$ 上的相容族可以逐层提升到 $T$ （分离性保证提升唯一），从而粘成 $\widehat{H}(T)$ 的一个元素，故 $\widehat{H}(T)$ 是层 ✓。 3.（与嵌入的关系） 由 $\check{H}^{0}$ 是等化子， $T(X) \to \widehat{H}(T)(X)$ 总是单 $\iff$ 「 $T$ 上两个元素若在某个覆盖上一致则相等」，即 $T$ 分离 ✓；这个映射还是满的 $\iff$ 每个相容族都能粘合，即 $T$ 是层 ✓。于是 $T$ 分离 $\iff T \to \widehat{H}(T)$ 单、 $T$ 是层 $\iff$ 它是同构 ✓。∎

1 的理由很短： $\operatorname{Hom}(-, T)$ 保极限，而滤过余极限左正合。3 说明「分离」与「层」的差别就是「 $T$ 在 $\widehat{H}$ 里是不是已经到顶了」—— 于是「做两次 $\widehat{H}$ 」这件事有了明确的意义。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 层化推出

Čech 函子做两次 $\implies$ 层化

记 $\sharp := \widehat{H} \circ \widehat{H}$ 。
落到层上。 对任意预层 $T$ ， $\widehat{H}(T)$ 是分离的；再对分离的 $\widehat{H}(T)$ 用一次，得到的 $\widehat{H}(\widehat{H}(T))$ 是层（Čech 函子的性质 2）。所以 $T^{\sharp}$ 总是层。∎
从层出发不动。 设 $F$ 是层。由性质 3（ $F$ 是层 $\iff F \to \widehat{H}(F)$ 是同构）得 $\widehat{H}(F) \cong F$ ，再做一次仍得到 $F$ 。所以 $\sharp$ 在层上是恒等 —— 这就是幂等性 $(T^{\sharp})^{\sharp} \cong T^{\sharp}$ 。∎
伴随性。 要证 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$ （ $F$ 是层）。先证 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$ ：由 $\widehat{H}$ 的定义逐点展开，
$\operatorname{Hom}\bigl(\widehat{H}(T), F\bigr)(X) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\widehat{H}(T)(X), F(X)\bigr)$
而 $\widehat{H}(T)(X) = \varinjlim_{R} \operatorname{Hom}(R, T)$ 是滤过余极限，故
$\operatorname{Hom}\bigl(\varinjlim_{R} \operatorname{Hom}(R, T),\ F(X)\bigr) \;\cong\; \varprojlim_{R} \operatorname{Hom}\bigl(\operatorname{Hom}(R, T),\ F(X)\bigr)$
这里只差最后一步：要用「 $F$ 是层」把 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(R, T), F(X))$ 换回 $T(X)$ 那一侧 —— 这一步是米田引理与层条件的联手（ $\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$ 对 $R \in J(X)$ 成立）。逐项套回去即可。于是 $\operatorname{Hom}(\widehat{H}(T), F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$ ，再对 $\widehat{H}(T)$ 用一次（此时它是分离的、用到性质 3）就得到 $\operatorname{Hom}(T^{\sharp}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$ 。∎
反射子范畴。 以上合起来： $\sharp$ 是左伴随、在层上取恒等、且每个对象都映到层里。按反射子范畴的判据，这就是「层范畴是预层范畴的反射子范畴，反射是 $\sharp$ 」。∎

注意「做两次」不是凑出来的：第一次把预算层变成分离的，第二次才把分离的变成层 —— 差的正是「分离」与「层」之间的那一步（性质 3）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

Čech 函子 → 本页定义引用

三条性质都是关于 $\widehat{H}$ 的。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §3.1–3.2

常见问法 1 条

预层怎么变成层也看层化、Čech 函子

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