筛

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 层的下降条件推出
  预拓扑下的层 $\iff$ 正合列

  设覆盖族 $(X_{i} \to X)_{i \in I}$ 生成的筛是 $R$。按定义，$R$ 的截面是那些能「穿过某个 $X_{i}$」的映射：

  $$R(Y) = \{\, f : Y \to X \ \mid\ \exists i,\ \exists h : Y \to X_{i},\ f = f_{i} \circ h \,\}$$

  而 $R$ 作为预层，是那些 $h_{Y}$ 沿 $(Y \to X_{i})_{i}$ 的余极限 —— 换句话说

  $$R \;\cong\; \varinjlim_{i} h_{X_{i}}$$

  （指标是这个覆盖族，余极限在预层范畴里取。）于是：

  $$\operatorname{Hom}(R, F) \;\cong\; \operatorname{Hom}\Bigl(\varinjlim_{i} h_{X_{i}},\ F\Bigr) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}(h_{X_{i}}, F) \;\cong\; \varprojlim_{i} F(X_{i})$$

  最后一步是米田引理。在 $\mathbf{Set}$ 里，这个极限就是「每个 $F(X_{i})$ 里取一个元素」，即 $\operatorname{Hom}(R, F) = \prod_{i} F(X_{i})$。

  但这样只用到「$F$ 限制到每一块上」的信息，还没有把「两块在交叠处一致」写进来。要做这件事，就看 $R$ 的两条「投影」：把每个 $f_{i}$ 沿两条腿拉到 $X_{i} \times_{X} X_{j}$ 上，得到两个映射

  $$\prod_{i} F(X_{i}) \overset{\alpha}{\underset{\beta}{\rightrightarrows}} \prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j}), \qquad \alpha((s_{i})_{i}) = (s_{i}|_{X_{i}\times_{X}X_{j}}),\quad \beta((s_{i})_{i}) = (s_{j}|_{X_{i}\times_{X}X_{j}})$$

  相容族恰好是 $\ker(\alpha - \beta)$ —— 即「$i$ 限制到交叠」与「$j$ 限制到交叠」结果一样。于是「层的双射条件」变成

  $$F(X) \;\cong\; \ker(\alpha - \beta)$$

  （$\implies$） 层给出 $\operatorname{Hom}(h_{X}, F) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$，两边用米田与上面的计算展开就是所要的正合。（$\Longleftarrow$） 反过来，正合序列给出的那个 $\ker$ 与 $F(X)$ 的同构，对所有由覆盖族生成的筛 $R$ 成立；而每个 $R \in J(X)$ 都由某个覆盖族生成，所以对一切 $R \in J(X)$ 都有 $F(X) \cong \operatorname{Hom}(R, F)$，即 $F$ 是层。∎

  ⚠️ 细看上面 $\alpha, \beta$ 的定义：$\operatorname{Hom}(R, F)$ 里的相容性条件要通过 $R$ 的态射结构（两个投影 $X_{i} \times_{X} X_{j} \rightrightarrows X_{i}$）才能写下来，这正是为什么必须用纤维积而不是「交」。

  这条把「层」这个抽象定义落到可以逐项验证的形状：一串截面、两个限制映射、取核。实际验层时走的都是这一条。

• 本页 ⟹ 覆盖筛即余积满射推出
  覆盖族生成覆盖筛 $\iff$ 余积满

  记覆盖族为 $(f_{i} : X_{i} \to X)_{i \in I}$，它生成的筛为 $R \subseteq h_{X}$，并记 $q : \coprod_{i} X_{i} \to X$ 为余积给出的那个态射。

  $R = h_{X}$ 这件事的意义。 $R(Y) \subseteq \operatorname{Hom}(Y, X)$ 是「能穿过某个 $X_{i}$」的那些映射。$R = h_{X}$ 就是说每个 $Y \to X$ 都能穿过某个 $X_{i}$。

  （$\Longleftarrow$） 设 $q$ 是满态射，即对任意 $T$ 与任意 $u, v : X \to T$，$u \circ q = v \circ q \implies u = v$。设 $g : Y \to X$。由余积的泛性质，$g$ 对应一族 $g \circ f_{i} : X_{i} \to Y \to X$…… 更直接地：把 $g$ 沿余积的泛性质写成 $g \circ q : \coprod_{i} X_{i} \to X$，它按构造分解为 $(g \circ f_{i})_{i}$。由 $q$ 满（右可消）得 $g$ 必须已经是 $q$ 的「商」—— 即存在某个 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$。所以 $R(Y) = \operatorname{Hom}(Y, X)$ 对所有 $Y$ 成立，$R = h_{X}$。

  （$\Longrightarrow$） 设 $R = h_{X}$。要证 $q$ 右可消。设 $u, v : X \to T$ 且 $u \circ q = v \circ q$。对每个 $i$ 有 $u \circ f_{i} = v \circ f_{i}$。对任意 $Y$ 与任意 $g : Y \to X$，由 $R = h_{X}$ 存在 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$，于是

  $$u \circ g = u \circ f_{i} \circ h = v \circ f_{i} \circ h = v \circ g$$

  取 $Y = X$、$g = 1_{X}$ 即得 $u = v$。所以 $q$ 是满态射。∎

  这条把「覆盖」这件听起来很几何的事，变成了一句纯箭头的话。以后凡是要在 site 上验覆盖，都可以改写成一个余积是否满射的问题。

定义引用 5

• 族生成的筛 用到 本页定义引用

  算的是族生成的筛。

• 覆盖筛即余积满射 用到 本页定义引用

  命题说覆盖族生成覆盖筛与余积满射是一回事。

• Grothendieck 拓扑 用到 本页定义引用

  Grothendieck 拓扑是对每个 $X$ 指定一族覆盖筛 $J(X)$。

• 标准拓扑 用到 本页定义引用

  标准拓扑是拿筛一条条规定出来的。

• 覆盖筛的四条等价 用到 本页定义引用

  命题说的是 $X$ 上的一个筛。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 预层 → 本页定义引用

  筛是预层 $h_{X}$ 的一个子函子。

• 函子 → 本页定义引用

  「子函子」本身就是函子语言：$R \subseteq h_{X}$ 要在态射层也相容。