图与交换图

说明

交换性是索引范畴的性质，不是函子给的。 「$I$ 是预序」当且仅当「任何 $I$-形状的图都交换」：此时 $I$ 里同起终点的两条路径复合出来都是 $\operatorname{Hom}(i, j)$ 里那唯一的态射，必然相等。

一般情形只有「形状」。 $I$ 不是预序时 $D$ 只能叫 $I$-形状的图：函子不要求平行的 $f \ne g : i \rightrightarrows j$ 被送到相等的箭头。最典型的不交换图是平行对 $\bullet \rightrightarrows \bullet$，它的极限与余极限正是等化子与余等化子；经典交换方块则对应预序 $\{A \le B \le D,\ A \le C \le D\}$。

纸面上的读法。 画在纸上的图只是呈现：给一个有向图 $G$ 的顶点送对象、箭头送态射。说它交换，意思是任意两条同起终点的路径在标注下的复合相等 —— 这是一条要检查的条件，等价于标注下降到 $G$ 自由生成的范畴的商上仍是函子。

$I$ 叫索引范畴：它只规定图的形状，不规定内容。

沿一个函子 $\lambda : I \to J$ 预复合，得到重索引 $\lambda^{*} : \mathcal{C}^{J} \to \mathcal{C}^{I}$：把 $J$ 形状的图截成 $I$ 形状的图。特别地，到终范畴的唯一函子 $I \to \mathbf{1}$ 诱导常图函子 $\Delta : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}^{I}$，它把对象 $X$ 送到「每个位置都是 $X$、每条箭头都是 $1_X$」的常图。