共尾函子

共尾函子（Cofinal Functor）

def.cofinal-functor · 范畴论 · 共尾 · cofinal · final · 余极限

又称共尾函子·cofinal·cofinal functor·final functor·coinitial·共尾

陈述

设 F:J→IF : J \to I 是函子。对 i∈Ii \in I，记 i↓Fi \downarrow F 为逗号范畴，它的对象是 { f:i→F(j) }\{\, f : i \to F(j) \,\}（j∈Jj \in J）。

称 FF 是共尾的（cofinal，也写作 final），如果对每个 i∈Ii \in I：

i↓F非空，且连通。i \downarrow F \quad \text{非空，且连通。}

说明

⭐ 直观：FF 的像在 II 里「到处都有、而且没有被隔开」。非空 = 每个 ii 都有一条路走到 FF 的像里；连通 = 不同的走法之间能互相转换。满足这两条，JJ 就在 II 里「铺得足够满」，沿着它算余极限与沿着整个 II 算是一回事（见下一条）。

对偶：把 i↓Fi \downarrow F 换成下逗号范畴 F↓iF \downarrow i（对象是 { f:F(j)→i }\{\, f : F(j) \to i \,\}）得到的条件叫 coinitial，它保的是极限。

例子：J→1J \to \mathbf{1} 共尾   ⟺  \iff JJ 连通；有向集沿 ≤\le 的含入 N→Z\mathbb{N} \to \mathbb{Z} 是共尾的；C\mathcal{C} 到它的反射子范畴的含入一般不是共尾的（方向反了就看 coinitial）。

它指向谁（出边）

定义引用 2

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 4 条

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