滤过范畴可换成有向集directed set

滤过 $\implies$ 存在共尾的有向集

prop.filtered-directed · 范畴论 · 滤过 · 有向集 · 共尾 · 余极限

又称滤过换成有向集·有向集·directed set·Proposition 1.4.2·Prop 1.4.2·Exercise 1.39

陈述

若 $I$ 是滤过范畴，则存在有向集 $J$ 与函子 $u : J \to I$ ，使得对任何图 $D : I \to \mathcal{C}$ ：

若 $\varinjlim_{J} D \circ u$ 存在，则 $\varinjlim_{I} D$ 存在，且 $\varinjlim_{J} D\circ u \cong \varinjlim_{I} D$ 。

构造：取 $J$ 为「 $I$ 中的有限图连同它选定的一个余锥」组成的集合

J = \bigl\{\, (K,\ D : K \to I,\ i,\ \{\Phi_{k} : D(k) \to i\}_{k \in K}) \,\bigr\},

按「 $D'$ 包含 $D$ 、且存在相容的 $i \to i'$ 」排成偏序（滤过性保证任意两个元都有共同上界，所以这确实是个有向集）。令 $u : J \to I$ 把 $(K, D, i, \Phi)$ 送到 $i$ 。

只需验证 $u$ 共尾：

非空：把 $i$ 自己看成一个单点范畴上的图，它当然有余锥，于是 $(\cdot, i, \emptyset) \in J$ 给出 $i \downarrow u$ 的一个对象。
连通：给定两个对象 $(j', f')$ 、 $(j'', f'')$ ，由 $I$ 的滤过性可以把它们的两张有限图并起来、再找一个共同的余锥 $a$ ，于是 $(j', f') \leftarrow (a, f) \to (j'', f'')$ 把它俩连起来。∎

⭐ 推论：滤过余极限 = 沿有向集的余极限。所以关于「滤过余极限」的定理，只要对有向集这一种最简单的指标范畴证一遍，就自动对一切滤过范畴成立。