单纯对象

单纯对象（Simplicial Object）

定义
依赖深度 layer 10
范畴论
图与极限

def.simplicial · 范畴论 · 单纯 · 索引范畴

又称单纯对象·simplicial object·单纯形范畴·面映射·退化映射·Definition 1.3.2·Def 1.3.2·Exercise 1.25

陈述

单纯形范畴 $\Delta$ 的对象是

[0], \ [1], \ [2], \ \ldots, \ [n], \ \ldots

而 $[n] \to [m]$ 的态射取全体单调映射（不要求 $n \le m$ ，也不要求严格）。 $\Delta$ 的全体态射由两类生成：

面映射 $\delta^{i} : [n-1] \to [n]$ ：跳过第 $i$ 个点（ $i = 0, \ldots, n$ ）；
退化映射 $\sigma^{i} : [n] \to [n-1]$ ：重复第 $i$ 个点。

只保留面映射的子范畴记 $\Delta_{\mathrm{inj}}$ ，只保留退化映射的记 $\Delta_{\mathrm{surj}}$ 。 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象是图

X : \Delta^{\mathrm{op}} \longrightarrow \mathcal{C}

只保留面映射的图（ $\Delta_{\mathrm{inj}}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ ）叫半单纯对象。

说明

把 $[n]$ 画成一个顶点数 $n+1$ 的标准单纯形，面映射就是「贴一个面」，退化映射就是「把一个顶点压扁」。于是 $\Delta$ 是「所有标准单纯形及其贴合方式」的骨架， $\Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ 的一个图就是把一串层层相套的单纯形安进 $\mathcal{C}$ 里 —— 这是把空间编码成代数数据的最省事的办法。

取 $\mathcal{C} = \mathbf{Set}$ ， $X([n])$ 就是「 $n$ 维单纯形的集合」， $X(\delta^i)$ 给出「第 $i$ 个面」， $X(\sigma^i)$ 给出「退化」。

它指向谁（出边）

定义引用 2

单纯对象给出链复形用到本页定义引用

命题的输入是（半）单纯对象，用的是单纯形范畴那套面映射。
单纯方法算层上同调用到本页定义引用

逐层取截面得到的是单纯阿贝尔群。

谁指向它（入边）

定义引用 2

图与交换图 → 本页定义引用

单纯对象就是一个图 $\Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ —— 只不过索引范畴换成了单纯形范畴 $\Delta$ 。
映射 → 本页定义引用

$\Delta$ 的态射是单调映射 $[n] \to [m]$ ，面映射与退化映射是两类基本映射（跳过一点 / 重复一点）。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

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