Set、Top、Ab 的完备性

命题： $\mathbf{Set} / \mathbf{Top} / \mathbf{Ab}$ 完备且余完备

prop.set-top-ab-complete · 命题 · 完备 · 余完备 · 遗忘函子 · Set

又称Exercise 1.38·Exercise 1.45

陈述

$\mathbf{Set}$ 、 $\mathbf{Top}$ 、 $\mathbf{Ab}$ 都有所有小极限与小余极限。

遗忘函子 $\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ 既保所有极限又保所有余极限；而 $\mathbf{Ab} \to \mathbf{Set}$ 保所有极限，但不保余积。

证明。 $\mathbf{Set}$ ：小积与等化子给出所有小极限 ✓，不交并与余等化子给出所有小余极限 ✓。 $\mathbf{Top}$ ：同样的构造配上相应的拓扑（积拓扑、子空间/等化子拓扑、不交并拓扑、商拓扑）✓。 $\mathbf{Ab}$ ：用自由阿贝尔群与商群造 ✓。

遗忘函子保极限是因为拓扑与代数结构都是「逐点」定义的 ✓；但 $M \oplus N$ 的底集合不是 $M \sqcup N$ ，所以 $\mathbf{Ab} \to \mathbf{Set}$ 不保余积 ✓。∎