C 是 Ind(C) 的反射子范畴

说明

证明。 记嵌入为 $i : \mathcal{C} \hookrightarrow \operatorname{Ind}(\mathcal{C})$，它把 $X$ 看成常图的形式余极限。

• 反射函子取 $F\bigl(\varinjlim_{i}X_{i}\bigr) := \varinjlim_{i}X_{i}$（在 $\mathcal{C}$ 里真实存在的那个，由假设存在；$\operatorname{Ind}$ 里形式余极限的表示在同构意义下唯一，故良定义）✓。
• 伴随：对 $X \in \mathcal{C}$ 与形式余极限 $\varinjlim_{j}Y_{j}$，$\operatorname{Ind}$ 里的 Hom 由余极限定义，而 $X$ 是紧的（在 $\mathcal{C}$ 里可表示），故

对 $X$ 自然 —— 即 $i \dashv F$（等价地 $F$ 是反射）✓。

• 余单位是同构：$\varepsilon : F\,i(X) = X \to X$ 就是恒等 ✓；对一般的 $\varinjlim Y_{j}$，$\varepsilon: F(\varinjlim Y_{j}) \to \varinjlim Y_{j}$ 也是同构（把表示换到 $\mathcal{C}$ 里）✓。∎

反射函子就是「取形式余极限的真正余极限」：把 Ind-对象「$\varinjlim X_{i}$」送到 $\mathcal{C}$ 里真实存在的那个 $\varinjlim X_{i}$。

⭐ 于是 $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ 是「把 $\mathcal{C}$ 补齐到对滤过余极限封闭」的最小范畴 —— 反射性说的正是「补完之后原来的东西没被改坏」。