Ind-对象ind-object

Ind-对象与 Ind⁡(C)\operatorname{Ind}(\mathcal{C})

def.ind-object · 范畴论 · Ind-对象 · 滤过余极限 · 形式余极限

又称Ind-对象·ind-object·Ind(C)·Definition 1.4.3·Def 1.4.3

陈述

范畴 C\mathcal{C} 的一个 Ind-对象「lim→⁡i∈IXi\varinjlim_{i \in I} X_{i}」是一个滤过图 (Xi)i∈I(X_{i})_{i \in I}。它们组成范畴 Ind⁡(C)\operatorname{Ind}(\mathcal{C})，其 Hom 为

Hom⁡Ind⁡(C)(“lim→⁡i∈IXi”, “lim→⁡j∈JYj”)  =  lim→⁡j∈J lim←⁡i∈I Hom⁡C(Xi,Yj).\operatorname{Hom}_{\operatorname{Ind}(\mathcal{C})}\Bigl(\text{“}\varinjlim_{i \in I} X_{i}\text{”},\ \text{“}\varinjlim_{j \in J} Y_{j}\text{”}\Bigr) \;=\; \varinjlim_{j \in J}\ \varprojlim_{i \in I}\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_{i}, Y_{j}).

说明

读法：引号里的 lim→⁡Xi\varinjlim X_{i} 是形式记法 —— 对象是「滤过图」本身，不是它的余极限（余极限可能压根不存在）。

公式为什么长这样：要给两个形式余极限之间的映射，先固定 jj，对每个 ii 给一条 Xi→YjX_{i} \to Y_{j} 且与 ii 的变动相容（这就是 lim←⁡i\varprojlim_{i}），再对 jj 取滤过余极限（YjY_{j} 越往后越大，晚给的映射可以「补」上早先的）。

例子：Ind⁡(FinSet)\operatorname{Ind}(\mathbf{FinSet}) 是「所有集合」（每个集合都是它有限子集的滤过余极限）；KK-理论的「向量丛按直和/余极限补全」用的也是它。

📌 对偶地有 Pro-对象：把滤过图换成余滤过图，得到 Pro⁡(C)\operatorname{Pro}(\mathcal{C})（profinite 空间就是 Pro⁡(FinSet)\operatorname{Pro}(\mathbf{FinSet})）。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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