拟分离即含入的滤过余极限

说明

⚠️ 不要读成 $\operatorname{Ind}(\mathbf{CHaus}) \cong \mathrm{Cond}$。 整块 $\operatorname{Ind}(\mathbf{CHaus})$ 比凝聚态集大：一般凝聚态集的紧块过渡映射只是映射、不是含入，所以只有「含入过渡」那一部分才对得上 qcqs 的对象。

为什么这条重要。 它把「拟分离」这个抽象的有限性条件换成了一个可操作的写法：$X$ 是一串越来越大的紧 Hausdorff 块 $S_{1} \hookrightarrow S_{2} \hookrightarrow \cdots$ 的余极限。$\operatorname{Ind}$-对象这套语言正是为「滤过余极限拼出来的东西」准备的，于是 $\mathrm{Cond}$ 的很多计算可以逐块做再取余极限。

⭐ 这条也是后面「层上同调用紧块算」那一路技术的起点：先在紧 Hausdorff 块上算，再沿滤过余极限抬上去（滤过余极限正合）。

证明。 只需证正向（反向是定义）。

• 任何凝聚态集 $X$ 都能写成 $X \cong \varinjlim_{i} T_{i}$（$T_{i}$ 紧 Hausdorff）—— 这是 $\mathrm{Cond}$ 里「用紧块拼出来」的一般事实。
• 记 $X_{i}$ 为 $T_{i}$ 在 $X$ 中的像，则 $X = \varinjlim_{i} X_{i}$。每个 $X_{i}$ 作为 $T_{i}$ 的像是拟紧的；而 $X$ 拟分离，故每个 $X_{i}$ 也拟分离（拟分离沿子对象遗传）。于是由「qcqs $\cong$ 紧 Hausdorff」得 $X_{i} \cong S_{i}$，$S_{i}$ 紧 Hausdorff。
• 把族 $(S_{i})$ 换成 $S_{J} := \bigcup_{i \in J} S_{i}$（$J$ 有限）—— 因为 $X$ 拟分离，两个紧 Hausdorff 块的交还是紧 Hausdorff（上一条），有限并仍紧 Hausdorff，于是得到一个有向的族 $S_{J}$，且 $X = \varinjlim_{J} S_{J}$，过渡映射都是含入。∎