底空间保有限积

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 投影公式推出
  底空间保有限积 + $k$-化与积 $\implies$ 投影公式

  （一）$S$ 紧 Hausdorff 的情形。 此时 $S$ 本身紧、$S(\cdot) = S$ ✓。由「底空间保有限积」

  $$(S \times X)(\cdot) \;\cong\; k\bigl(S(\cdot) \times X(\cdot)\bigr) = k\bigl(S \times X(\cdot)\bigr) ✓$$

  而 $S$ 紧 Hausdorff 因而局部紧，由「$k$-化与积」$k\bigl(S \times X(\cdot)\bigr) \cong S \times X(\cdot)$ ✓ —— 这一步正是「乘一个局部紧空间」与 $k$-化交换。 （二）$S$ 只假设局部紧 Hausdorff 的情形（思路）。 两边作为集合都是 $S \times X(\ast)$ ✓；而底空间的拓扑由「紧 Hausdorff 空间到它的映射」决定（底空间的定义）✓。$S$ 局部紧 Hausdorff 时是它自己的紧子空间的滤过余极限，把 (一) 逐块用上去即可 ✓。 两步合起来即得 $S \times X(\cdot) \cong (S \times X)(\cdot)$ ✓。∎ ⚠️ (二) 只是化归的思路：真正的证明要把「底空间的拓扑由紧块决定」这句话在两边各写清楚（左边靠底空间的定义、右边靠 $k$-化的定义）。这一步不做也没有数学风险，但严格说这里只到「化归到紧的情形」为止。

谁指向它（入边）

推出 1

• 紧生成空间是笛卡尔闭的、内部 Hom 的函数空间刻画 ⟹ 本页推出
  紧生成空间的指数律 $\implies$ 底空间保有限积

  设 $X, Y \in \mathrm{Cond}$，$Z$ 是任意紧生成空间。逐步用三条同构：

  1. $\mathbf{Top}$ 里的指数律（紧生成空间是笛卡尔闭的）：

  $$C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)),\ Z\bigr) \;\cong\; C\bigl(X(\cdot),\ kC(Y(\cdot), Z)\bigr) ✓$$

  1. 内部 Hom 的函数空间刻画（$Z$ 紧生成时 $\operatorname{Hom}(X, \underline{Z}) \cong C(X(\cdot), Z)$），两次：

  $$\cong \operatorname{Hom}\bigl(X,\ \operatorname{Hom}(Y, \underline{Z})\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}\bigl(X \times Y,\ \underline{Z}\bigr) ✓$$

  1. 再用一次内部 Hom 刻画，并用 $\operatorname{Hom}(X \times Y, \underline{Z}) = (X \times Y)(\cdot)$ 的取值定义：

  $$\cong C\bigl((X \times Y)(\cdot),\ Z\bigr) ✓$$

  于是 $C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)), Z\bigr) \cong C\bigl((X \times Y)(\cdot), Z\bigr)$ 对一切紧生成 $Z$ 成立，由米田引理得 $k\bigl(X(\cdot) \times Y(\cdot)\bigr) \cong (X \times Y)(\cdot) ✓$。∎ ⚠️ 第一步必须在紧生成的世界里做：$\mathbf{Top}$ 一般不是笛卡尔闭的，不取 $k$-化时同构链在第一步就断了。

定义引用 1

• 底拓扑空间 → 本页定义引用

  函子 $X \mapsto X(\cdot)$ 就是「底拓扑空间」。