Hom 预层是层

命题： $U \mapsto \operatorname{Hom}_{/X}(U, Y)$ 是 $X$ 上的层

命题
依赖深度 layer 16
凝聚态数学
凝聚态集

prop.hom-presheaf-sheaf · 命题 · 凝聚态集 · 层 · 截面 · 拓扑斯

又称Exercise 4.7

陈述

设 $X$ 是拓扑空间、 $Y \to X$ 是凝聚态集之间的态射（即 $Y \in \mathrm{Cond}/X$ ）。则预层

U \;\longmapsto\; Y(U) := \operatorname{Hom}_{/X}\bigl(\underline{U},\ Y\bigr) \qquad (U \subseteq X \text{ 开})

是 $X$ 上的一个层。

说明

证明。 由「开覆盖给出覆盖」，开覆盖 $U = \bigcup_i U_{i}$ 给出 $\mathrm{Cond}/X$ 里的覆盖 $\coprod_i \underline{U_{i}} \to \underline{U}$ ✓。而 $Y$ 是拓扑斯 $\mathrm{Cond}/X$ 的对象，拓扑斯的对象对标准拓扑下的每个覆盖筛都满足下降 —— 层条件的定义正是「 $\operatorname{Hom}(-, Y)$ 把覆盖筛变成等化子」✓。把这条用在上面的覆盖上： $Y(U) \to \prod_i Y(U_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} Y(U_{i} \cap U_{j})$ 是等化子，正是 $U \mapsto Y(U)$ 的层条件 ✓。∎

⭐ 一句话：「 $X$ 上的开集给的截面」就是层，因为开覆盖已经是 $\mathrm{Cond}/X$ 里的覆盖。

谁指向它（入边）

推出 1

开覆盖给出覆盖 ⟹ 本页推出

开覆盖是覆盖 $\implies$ $\operatorname{Hom}$ 预层是层

开覆盖 $U = \bigcup_i U_{i}$ 给出覆盖 $\coprod_i \underline{U_{i}} \to \underline{U}$ ✓，而拓扑斯里的对象对每个覆盖筛都满足下降（层条件就是「 $\operatorname{Hom}(-, Y)$ 把覆盖筛变成等化子」）✓，于是截面沿开覆盖的等化子条件成立，即 $U \mapsto Y(U)$ 是层 ✓。∎

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.7

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