拟分离推出底空间弱 Hausdorffunderlying weak Hausdorff

拟分离凝聚态集的底空间弱 Hausdorff

lem.qseparated-underlying-weak-hausdorff · 凝聚态数学 · 拟分离 · 弱 Hausdorff · 底空间

又称底空间弱 Hausdorff·underlying weak Hausdorff·Lemma 4.2.11

陈述

若凝聚态集 $X$ 拟分离，则它的底空间 $X(\bullet)$ 弱 Hausdorff。

证法：把 $X$ 写成紧 Hausdorff 块沿含入的滤过余极限（上一条），再对底空间取 $k$ -化。滤过余极限在 $\mathrm{CGWH}$ 里被保留，而每个紧 Hausdorff 块都弱 Hausdorff，于是余极限仍弱 Hausdorff。

方向别弄反：这条是「拟分离 $\implies$ 弱 Hausdorff」，反向要加紧生成才成立（见下一条）。

证明。 由拟分离的刻画，把 $X$ 写成紧 Hausdorff 块沿含入的滤过余极限 $X = \varinjlim_{i} S_{i}$ （ $S_{i} \hookrightarrow S_{j}$ ）。底空间沿滤过余极限是正合的：

X(\bullet) = \varinjlim_{i} S_{i}

（在 $\mathrm{CGWH}$ 里取 $k$ -化后这个余极限仍被保留）。而每个 $S_{i}$ 是紧 Hausdorff，当然弱 Hausdorff； $\mathrm{CGWH}$ 是余完备且对滤过余极限封闭的，于是余极限 $X(\bullet)$ 仍弱 Hausdorff。∎