Top 与 Cond 的伴随

谁指向它（入边）

推出 1

• 紧生成空间、凝聚态集、紧生成空间是余反射子范畴 ⟹ 本页推出
  $\mathbf{Top} \to \mathrm{Cond}$ 忠实、限制到 $k\mathbf{Top}$ 全忠实

  $\underline{X}$ 是凝聚态集。 对任一点集 $S$，$\underline{X}(S) = C(S, X)$；$C(-, X)$ 把 $\mathbf{CHaus}$ 里的有限不交并变成有限积、把商变成核（连续映射在无交并上与商上都是逐块决定的）。由凝聚态集的两条判据，$\underline{X}$ 是凝聚态集。∎

  伴随。 函子 $X \mapsto \underline{X}$ 与 $Z \mapsto Z(\cdot)$ 之间要给出

  $$\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, Z) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}\bigl(X, Z(\cdot)\bigr)$$

  而 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, Z) = \operatorname{Nat}(C(-,X), Z)$，按米田式的计算，它正是「在 $S = \ast$ 处的取值」加上自然性 —— 也就是 $Z(\cdot) = Z(\ast)$ 上的一个元素，并且与所有 $\underline{X}(S) = C(S,X)$ 相容。这恰恰是「从 $X$ 出发的连续映射」，两边一一对应。∎

  忠实。 由上面的伴随式取 $Z = \underline{Y}$：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, \underline{Y}) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}\bigl(X, \underline{Y}(\cdot)\bigr)$$

  而关键的一步是：$\underline{Y}(\cdot) \cong kY$（把 $Y$ 换成它的 $k$-化，拓扑可能变细）。于是

  $$\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, \underline{Y}) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X, kY) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{k\mathbf{Top}}(kX, kY)$$

  （最后一个同构因为 $k\mathbf{Top}$ 是余反射子范畴，$k$ 是含入的右伴随：$kX$ 处的映射等同于一切从 $X$ 出发射入紧生成空间的映射。）

  当 $X$ 本身紧生成时 $kX = X$，上式就是 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, \underline{Y}) \cong \operatorname{Hom}_{k\mathbf{Top}}(X, kY)$，逐对 $X, Y$ 都是双射 —— 限制到 $k\mathbf{Top}$ 上全忠实。对一般 $X$，$X \to kX$ 是同一集合上的恒等映射，所以函子在态射层仍是单射 —— 在 $\mathbf{Top}$ 上忠实。∎

  一句话记住：「拓扑空间 $\to$ 凝聚态集」这件事丢掉的东西，正好就是 $k$-化丢掉的东西。 所以在 $k\mathbf{Top}$ 上它不丢信息。

定义引用 2

• 凝聚态集 → 本页定义引用

  定理里的函子 $X \mapsto \underline{X}$ 以凝聚态集为靶。

• 紧生成空间 → 本页定义引用

  限制到紧生成空间上时那个函子变得全忠实。