内部 Hom 的函数空间刻画internal hom

$C(X(\bullet), Y) \cong \operatorname{Hom}(X, Y)$

命题
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态集

prop.cond-internal-hom · 凝聚态数学 · 内部 Hom · 紧生成空间 · 笛卡尔闭

又称内部 Hom 的刻画·internal hom·连续函数空间·C(X,Y)·Proposition 4.2.6

陈述

设 $X$ 是凝聚态集、 $Y$ 是紧生成空间（视为凝聚态集 $\underline{Y}$ ）。则凝聚态集之间有自然同构

C\bigl(X(\bullet),\ Y\bigr) \cong \operatorname{Hom}(X,\ \underline{Y}),

其中左边是「测试对象 $S \mapsto C\bigl(X(S), Y\bigr)$ 」（连续映射空间配紧开拓扑）所定的凝聚态集，右边是 $\mathrm{Cond}$ 的内部 Hom。

特别地，若 $X$ 与 $Y$ 都紧生成，则 $kC(X, Y) \cong \operatorname{Hom}(X, Y)$ 。

说明

为什么需要它。 $\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯，内部 Hom 由拓扑斯结构自动给出 —— 但那是抽象的。这一条给出它的具体实现：「内部 Hom 就是连续函数空间」。有了它，内部 Hom 才是一个可以算、可以往 $\mathbf{Top}$ 里搬的东西。

两边分别在说什么。 $X(\bullet)$ 是 $X$ 的底空间（把 $X$ 喂给紧 Hausdorff 测试对象 $S$ 得到的集合，再装上由测试映射定出的拓扑）； $\operatorname{Hom}(X, \underline{Y})$ 是「从 $X$ 到 $Y$ 的映射」这个对象。等号说：先取底空间再取函数空间，和先取内部 Hom 再取底空间，是一回事。

⭐ 与「 $\mathrm{Cond}$ 是笛卡尔闭」连起来看：笛卡尔闭给的是存在性，这一条给的是具体形状。 $Y$ 紧生成这个假设不能去掉 —— 紧生成正是让「紧开拓扑」够用的那个条件。

证明。 先设 $X = S$ 是紧 Hausdorff 空间（此时 $X(\bullet) = S$ ）。对任意紧 Hausdorff 的 $T$ ，两边在 $T$ 上取值并逐步用「内部 Hom 的伴随」与「紧生成空间上的指数律」：

\underline{\operatorname{Hom}}(S, \underline{Y})(T) = \operatorname{Hom}\bigl(T,\ \underline{\operatorname{Hom}}(S,\underline{Y})\bigr) \cong \operatorname{Hom}(T \times S,\ \underline{Y}) \cong C(T\times S,\ Y) \cong C\bigl(T,\ C(S, Y)\bigr) = \underline{C(X(\bullet), Y)}(T).

其中第四步是紧生成空间（ $T \times S$ 与 $Y$ ）上的指数律。取 $T = \bullet$ 得自然变换；一般 $X$ 再用 Yoneda：对紧 Hausdorff 的 $S$ ，

\operatorname{Hom}(X, \underline{Y})(S) \cong \operatorname{Hom}(S, \operatorname{Hom}(X, \underline{Y})) \cong \operatorname{Hom}(X, \operatorname{Hom}(S, \underline{Y})) \cong \operatorname{Hom}\bigl(X, C(S, Y)\bigr) \cong C\bigl(X(\bullet), C(S, Y)\bigr) \cong C\bigl(S, C(X(\bullet), Y)\bigr),

最后一步又是指数律。于是两边作为 $\mathbf{CHaus}$ 上的层逐点同构，即自然同构。 紧生成的情形： $X$ 也紧生成时， $X(\bullet) = X$ （底空间就是它自己），且两侧都落在 $\mathrm{CGWH}$ 里，取 $k$ -化即得 $kC(X, Y) \cong \operatorname{Hom}(X, \underline{Y})$ 。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 底空间保有限积推出

紧生成空间的指数律 $\implies$ 底空间保有限积
设 $X, Y \in \mathrm{Cond}$ ， $Z$ 是任意紧生成空间。逐步用三条同构：
1. $\mathbf{Top}$ 里的指数律（紧生成空间是笛卡尔闭的）：
$C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)),\ Z\bigr) \;\cong\; C\bigl(X(\cdot),\ kC(Y(\cdot), Z)\bigr) ✓$
1. 内部 Hom 的函数空间刻画（ $Z$ 紧生成时 $\operatorname{Hom}(X, \underline{Z}) \cong C(X(\cdot), Z)$ ），两次：
$\cong \operatorname{Hom}\bigl(X,\ \operatorname{Hom}(Y, \underline{Z})\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}\bigl(X \times Y,\ \underline{Z}\bigr) ✓$
1. 再用一次内部 Hom 刻画，并用 $\operatorname{Hom}(X \times Y, \underline{Z}) = (X \times Y)(\cdot)$ 的取值定义：
$\cong C\bigl((X \times Y)(\cdot),\ Z\bigr) ✓$
于是 $C\bigl(k(X(\cdot) \times Y(\cdot)), Z\bigr) \cong C\bigl((X \times Y)(\cdot), Z\bigr)$ 对一切紧生成 $Z$ 成立，由米田引理得 $k\bigl(X(\cdot) \times Y(\cdot)\bigr) \cong (X \times Y)(\cdot) ✓$ 。∎ ⚠️ 第一步必须在紧生成的世界里做： $\mathbf{Top}$ 一般不是笛卡尔闭的，不取 $k$ -化时同构链在第一步就断了。

谁指向它（入边）

定义引用 2

凝聚态集 → 本页定义引用

说的是凝聚态集的内部 Hom。
紧生成空间 → 本页定义引用

右边的靶 $Y$ 要求是紧生成空间，紧开拓扑才够用。

参考

Le Stum, Proposition 4.2.6

常见问法 1 条

内部 Hom 怎么用连续函数空间算也看内 Hom、紧生成空间

同一星团的其他概念 29 个

继续

在星图里打开「内部 Hom 的函数空间刻画」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 English entry　·　读图指南与记号表