弱 Hausdorff 推出 拟分离weak Hausdorff quasi-separated

说明

直觉：拟分离要的是「两个紧块的交还是紧块」。弱 Hausdorff 正好保证了这件事 —— 它说紧块的像都是闭的，于是两个紧块沿 $X$ 的拉回落在紧块里。

⚠️ 这里 $X_{1} \times_{X} X_{2}$ 的紧性是 $\mathrm{CGWH}$ 系里那条「紧 Hausdorff 沿弱 Hausdorff 的纤维积」的直接应用。

证明。 不妨设 $X$ 紧生成（弱 Hausdorff 的 $k$-化不改变结论）。对 $i = 1, 2$，由拟紧性取紧 Hausdorff 空间 $S_{i}$ 与满态射 $S_{i} \twoheadrightarrow X_{i}$（「拟紧 $\iff$ 有从自由紧 Hausdorff 的满射」）。于是有满态射

（纤维积保满射）。而 $X$ 弱 Hausdorff、$S_{1}, S_{2}$ 紧 Hausdorff，于是 $S_{1} \times_{X} S_{2}$ 是 $S_{1} \times S_{2}$ 里的闭子集（弱 Hausdorff 的定义：紧 Hausdorff 子空间沿连续映射的纤维积仍紧 Hausdorff），故紧 Hausdorff。 紧 Hausdorff 空间的商还是紧 Hausdorff（连续满像是紧的，Hausdorff 商还是 Hausdorff），故 $X_{1} \times_{X} X_{2}$ 紧 Hausdorff。∎