凝聚态集的刻画

说明

$\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯，所以它上面的预标准拓扑恰好由两类覆盖生成：有限不交并与满射。上面第 1、2 条就是这两类覆盖下的层条件 —— 「有限余积变有限积」与「商变核」。

换一种写法：$X$ 是凝聚态集 $\iff$ 它把有限余积变成有限积、把余等化子变成等化子。这句话后面的所有构造都在用。

证明。 只需对预标准拓扑的生成元验证层条件 —— 一般覆盖由「有限不交并」与「满射」复合而成，够用的正是两类：

• 有限不交并：覆盖是 $(S_{i} \hookrightarrow S)_{i \in I}$（$I$ 有限、$\coprod_{i} S_{i} \to S$ 双射）。层条件要求 $X(S) \to \prod_{i} X(S_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} X(S_{i} \times_{S} S_{j})$ 正合；由不交性，$i \ne j$ 时 $S_{i} \times_{S} S_{j} = \emptyset$、$i = j$ 时 $= S_{i}$，而 $X(\emptyset) = \{\ast\}$，于是那对映射一个是恒等、一个是常值 —— 正合化归为 $X(S) \cong \prod_{i} X(S_{i})$，即 (4.1)。特别地取 $I = \emptyset$ 得 $X(\emptyset) = \{\ast\}$。
• 满射：覆盖是单个满射 $S' \twoheadrightarrow S$。层条件就是 $X(S) \to X(S') \rightrightarrows X(S' \times_{S} S')$ 左正合，即 (4.2)。

反过来，两条条件合起来显然蕴含「对所有覆盖是层」（覆盖可以分解成这两类的复合），于是判据成立。∎