# 凝聚态集的刻画　`prop.condensed-criterion`
预层是凝聚态集的两条判据
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$\mathbf{CHaus}$ 上的集合预层 $X$ 是凝聚态集 $\iff$

1. 对有限族 $(S_{i})_{i \in I}$：

$$X\Bigl(\coprod_{i \in I} S_{i}\Bigr) \;\cong\; \prod_{i \in I} X(S_{i})$$

2. 对任何**闭等价关系** $R \rightrightarrows S$：

$$X\bigl(\operatorname{coker}(R \rightrightarrows S)\bigr) \;\cong\; \ker\bigl(X(S) \rightrightarrows X(R)\bigr)$$
> 陈述续见 [nodes/prop.condensed-criterion.2.md](./prop.condensed-criterion.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.condensed-criterion.3.md](./prop.condensed-criterion.3.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §4

> 说明见 `notes/prop.condensed-criterion.md`

引用：`prop.condensed-criterion`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)