FCHaus 上层的判据

自由紧 Hausforff 空间上的层 $\iff$ 保有限积

命题
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态集

prop.fchaus-sheaf · 凝聚态 · 自由 · 层

又称FCHaus 上的层保有限积·Exercise 4.2

陈述

设 $X$ 是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的集合预层。则 $X$ 是层 $\iff$ $X$ 保有限积。

说明

证明。 $\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖就是「有限不交并」，即 $F = \coprod_{i \in I} F_{i}$ （ $I$ 有限）。对它写层条件：

X(F) \longrightarrow \prod_{i} X(F_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} X(F_{i} \times_{F} F_{j}).

由不交性， $i \ne j$ 时 $F_{i} \times_{F} F_{j} = \emptyset$ 、 $i = j$ 时 $= F_{i}$ 。于是右边那对映射一个是恒等、另一个把 $i \ne j$ 的分量送到 $X(\emptyset)$ —— 而 $X(\emptyset)$ 由 $I = \emptyset$ 的层条件（ $X$ 保空余积）给出 $X(\emptyset) \cong \{\ast\}$ 。
所以层条件正合化归为 $X\bigl(\coprod_{i} F_{i}\bigr) \cong \prod_{i} X(F_{i})$ —— 这正是「保有限积」。

反过来，若 $X$ 保有限积，则上述每一条层条件自动成立。∎ ⭐ 用处：这一条把「 $\mathrm{Cond}$ 里的层」换成了一句纯代数的话 ——「保有限积的函子」。于是验一条性质是不是层，只要验它是否保有限积。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Cond 即 FCHaus 上的层推出

$\mathrm{Cond} \simeq \widehat{\mathbf{FCHaus}}$

（限制） 设 $X$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 上的层，把它限制到 $\mathbf{FCHaus}$ 上。 $\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖更少（只有有限不交并），层的条件只会更容易满足，所以限制仍是层。∎
（延拓） 设 $X$ 是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层。对 $S \in \mathbf{CHaus}$ 定义
$X(S) := \varinjlim_{F \to S} X(F)$
指标跑在「自由紧 Hausdorff 空间到 $S$ 的映射」上（按加细取滤过余极限）。
这就是层的粘合。 由 $\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$ ，取 $R := \beta S^{\mathrm{disc}} \times_{S} \beta S^{\mathrm{disc}}$ 与满射 $\beta R \to R$ ，则
$X(S) \;=\; \varprojlim_{F \to S} X(F) \;\cong\; \ker\bigl(X(\beta S^{\mathrm{disc}}) \rightrightarrows X(\beta R)\bigr) \;=\; \{\, x : X(p_{1})(x) = X(p_{2})(x) \,\}$
正是「相容的一族截面」。
反过来赋值。 给定右边的一个 $x$ 与一个映射 $f : F'' \to S$ （ $F''$ 自由），由自由性 $f$ 可以提升为 $\widetilde{f} : F'' \to F$ （ $F \twoheadrightarrow S$ 是那个自由表示），定义
$x_{f} := X(\widetilde{f})(x) \in X(F'')$
提升的选取无关紧要。 若 $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ 是两个提升，则 $(\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}) : F'' \to F \times_{S} F$ 分解为 $p \circ f'$ （因为 $F' \twoheadrightarrow F \times_{S} F$ 满而 $F''$ 自由），于是
$X(\widetilde{f}_{1})(x) = X(f')\bigl(X(p_{1})(x)\bigr) = X(f')\bigl(X(p_{2})(x)\bigr) = X(\widetilde{f}_{2})(x)$
所以 $(x_{f})_{f}$ 良定义，即有一族相容截面， $\varphi(x) \in X(S)$ 。两个方向互逆，于是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层与 $\mathbf{CHaus}$ 上的层是同一个范畴。∎
又由「 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $\iff$ 保有限积」， $\mathrm{Cond}$ 也可以等价地定义为「 $\mathbf{FCHaus}$ 上保有限积的预层」。∎

换到 $\mathbf{FCHaus}$ 上的好处是：那里的满射都有截面，于是「层」退化成最朴素的一条 —— 保有限积。这是凝聚态数学里最常用的工作定义。

谁指向它（入边）

定义引用 1

自由紧 Hausdorff 空间 → 本页定义引用

命题谈的是自由紧 Hausdorff 空间上的层。

参考

Le Stum, Exercise 4.2

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