投影公式

谁指向它（入边）

推出 1

• 底空间保有限积、k-化与积 ⟹ 本页推出
  底空间保有限积 + $k$-化与积 $\implies$ 投影公式

  （一）$S$ 紧 Hausdorff 的情形。 此时 $S$ 本身紧、$S(\cdot) = S$ ✓。由「底空间保有限积」

  $$(S \times X)(\cdot) \;\cong\; k\bigl(S(\cdot) \times X(\cdot)\bigr) = k\bigl(S \times X(\cdot)\bigr) ✓$$

  而 $S$ 紧 Hausdorff 因而局部紧，由「$k$-化与积」$k\bigl(S \times X(\cdot)\bigr) \cong S \times X(\cdot)$ ✓ —— 这一步正是「乘一个局部紧空间」与 $k$-化交换。 （二）$S$ 只假设局部紧 Hausdorff 的情形（思路）。 两边作为集合都是 $S \times X(\ast)$ ✓；而底空间的拓扑由「紧 Hausdorff 空间到它的映射」决定（底空间的定义）✓。$S$ 局部紧 Hausdorff 时是它自己的紧子空间的滤过余极限，把 (一) 逐块用上去即可 ✓。 两步合起来即得 $S \times X(\cdot) \cong (S \times X)(\cdot)$ ✓。∎ ⚠️ (二) 只是化归的思路：真正的证明要把「底空间的拓扑由紧块决定」这句话在两边各写清楚（左边靠底空间的定义、右边靠 $k$-化的定义）。这一步不做也没有数学风险，但严格说这里只到「化归到紧的情形」为止。

定义引用 1

• 底拓扑空间 → 本页定义引用

  公式两边的 $(-)(\cdot)$ 就是底拓扑空间。