Cond 即 FCHaus 上的层

谁指向它（入边）

推出 1

• FCHaus 上层的判据、FCHaus 上的预拓扑、自由表示 ⟹ 本页推出
  $\mathrm{Cond} \simeq \widehat{\mathbf{FCHaus}}$

  （限制） 设 $X$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 上的层，把它限制到 $\mathbf{FCHaus}$ 上。$\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖更少（只有有限不交并），层的条件只会更容易满足，所以限制仍是层。∎

  （延拓） 设 $X$ 是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层。对 $S \in \mathbf{CHaus}$ 定义

  $$X(S) := \varinjlim_{F \to S} X(F)$$

  指标跑在「自由紧 Hausdorff 空间到 $S$ 的映射」上（按加细取滤过余极限）。

  这就是层的粘合。 由 $\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$，取 $R := \beta S^{\mathrm{disc}} \times_{S} \beta S^{\mathrm{disc}}$ 与满射 $\beta R \to R$，则

  $$X(S) \;=\; \varprojlim_{F \to S} X(F) \;\cong\; \ker\bigl(X(\beta S^{\mathrm{disc}}) \rightrightarrows X(\beta R)\bigr) \;=\; \{\, x : X(p_{1})(x) = X(p_{2})(x) \,\}$$

  正是「相容的一族截面」。

  反过来赋值。 给定右边的一个 $x$ 与一个映射 $f : F'' \to S$（$F''$ 自由），由自由性 $f$ 可以提升为 $\widetilde{f} : F'' \to F$（$F \twoheadrightarrow S$ 是那个自由表示），定义

  $$x_{f} := X(\widetilde{f})(x) \in X(F'')$$

  提升的选取无关紧要。 若 $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ 是两个提升，则 $(\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}) : F'' \to F \times_{S} F$ 分解为 $p \circ f'$（因为 $F' \twoheadrightarrow F \times_{S} F$ 满而 $F''$ 自由），于是

  $$X(\widetilde{f}_{1})(x) = X(f')\bigl(X(p_{1})(x)\bigr) = X(f')\bigl(X(p_{2})(x)\bigr) = X(\widetilde{f}_{2})(x)$$

  所以 $(x_{f})_{f}$ 良定义，即有一族相容截面，$\varphi(x) \in X(S)$。两个方向互逆，于是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层与 $\mathbf{CHaus}$ 上的层是同一个范畴。∎

  又由「$\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $\iff$ 保有限积」，$\mathrm{Cond}$ 也可以等价地定义为「$\mathbf{FCHaus}$ 上保有限积的预层」。∎

  换到 $\mathbf{FCHaus}$ 上的好处是：那里的满射都有截面，于是「层」退化成最朴素的一条 —— 保有限积。这是凝聚态数学里最常用的工作定义。

定义引用 1

• 层 → 本页定义引用

  定理说两边的层范畴是同一个。