CHaus 是预拓扑斯
是预拓扑斯
- 定理
- 依赖深度 layer 16
- 凝聚态数学
- 凝聚态集
def.chaus-pretopos · 凝聚态 · CHaus · 预拓扑斯
又称CHaus 是预拓扑斯·Proposition 4.1.1·Corollary 4.1.2
陈述
在 中：
- 所有极限与余极限存在；
- 有限余积不交且万有；
- 等价关系有效且万有；
- 满态射正则且万有。
因此 是预拓扑斯。
说明
第 1 条由「 是 的反射子范畴」直接读出：
极限在 里怎么算就怎么算（反射子范畴对极限封闭），余极限要先在 里算、再用 紧化回去（左伴随保余极限）。
证明。 关键在于「哪些 里的余极限同时也是 里的余极限」：
- 四条性质在 （拓扑斯）里都成立；而 的极限在 里逐点算（ 对极限封闭），所以涉及极限的部分直接从 继承；
- 一个本身还是紧 Hausdorff 的 余极限，就是 里的余极限 —— 有限余积、满射的余等化子、闭等价关系的余等化子都属于这一类；
- 于是：有限余积不交（先在 里不交，再注意到那个余积本身紧 Hausdorff）、满射万有（拉回仍是满射，仍在紧 Hausdorff 里）、闭等价关系有效（商对象紧 Hausdorff）；
- 第 4 条：紧 Hausdorff 空间之间的连续满射是商映射 —— 这正是「满 正则」。∎
第 2、3 条也可以从 继承：不交性、万有性、有效性都是「逐点」的性质，而 里的构造逐点继承集合。
它指向谁（出边）
推出 1
-
是预拓扑斯 是拓扑斯
用 Giraud 定理的第四条：造出「预层范畴 + 正合反射」就够了。
取预层范畴 ，则 是它的反射子范畴（反射是层化），并且层化正合（保有限极限，前面的层与拓扑那一段已经证过）。所以 是拓扑斯。∎
也可以直接验拓扑斯的四条公理，用的都是 是预拓扑斯这一条：
小生成元集。 层范畴由可表示预层生成，所以取全体自由紧 Hausdorff 空间 （在 里）作生成元集即可 —— 每个紧 Hausdorff 空间都有自由表示 ，于是每个可表示预层都被这些自由对象盖住。
有限极限、余积、等价关系。 层范畴里的这些构造都是逐点算的（在 上取极限/余积/商），所以它们的不交性、万有性、有效性都由 的对应性质继承过来 —— 层化保有限极限与余极限，正好把结论从预层范畴运到层范畴。∎
这就是整段路的终点：从「紧 Hausdorff 空间」这一件拓扑材料出发，造出了一个拓扑斯。
谁指向它（入边）
定义引用 3
-
结论是 满足预拓扑斯的四条公理。
-
被检验的范畴是 。
-
极限与余极限的算法来自「 是反射子范畴」，即含入函子有左伴随。
参考
- Le Stum, Proposition 4.1.1
- Le Stum, Corollary 4.1.2
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