Cond 是拓扑斯Cond is a topos

谁指向它（入边）

推出 1

• CHaus 是预拓扑斯、自由表示、Giraud 定理 ⟹ 本页推出
  $\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯 $\implies$ $\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯

  用 Giraud 定理的第四条：造出「预层范畴 + 正合反射」就够了。

  取预层范畴 $\widehat{\mathbf{CHaus}}$，则 $\mathrm{Cond} = \widehat{\mathbf{CHaus}}$ 是它的反射子范畴（反射是层化），并且层化正合（保有限极限，前面的层与拓扑那一段已经证过）。所以 $\mathrm{Cond}$ 是拓扑斯。∎

  也可以直接验拓扑斯的四条公理，用的都是 $\mathbf{CHaus}$ 是预拓扑斯这一条：

  小生成元集。 层范畴由可表示预层生成，所以取全体自由紧 Hausdorff 空间 $\beta I$（在 $\mathrm{Cond}$ 里）作生成元集即可 —— 每个紧 Hausdorff 空间都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$，于是每个可表示预层都被这些自由对象盖住。

  有限极限、余积、等价关系。 层范畴里的这些构造都是逐点算的（在 $\mathbf{CHaus}$ 上取极限/余积/商），所以它们的不交性、万有性、有效性都由 $\mathbf{CHaus}$ 的对应性质继承过来 —— 层化保有限极限与余极限，正好把结论从预层范畴运到层范畴。∎

  这就是整段路的终点：从「紧 Hausdorff 空间」这一件拓扑材料出发，造出了一个拓扑斯。

定义引用 1

• 凝聚态集 → 本页定义引用

  定理说的是 $\mathrm{Cond}$（凝聚态集的范畴）是拓扑斯。