凝聚态集满态射的判据

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 开满射是满态射推出
  满态射判据 $\implies$ 开满射是满态射

  按「凝聚态集满态射的判据」，只需对每个自由紧 Hausdorff $F$ 验证 $C(F, X) \to C(F, Y)$ 满 ✓。 给 $g : F \to Y$：$g(F)$ 紧 Hausdorff（$F$ 紧、$Y$ 弱 Hausdorff）✓，于是 $g(F) = f(S)$ 对某个紧 Hausdorff $S \subseteq X$ ✓；$F$ 自由因而投射，$F \to f(S)$ 可提升为 $F \to S \hookrightarrow X$ ✓，即 $g$ 有原像 ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 层、Cond 有足够多投射对象、自由表示 ⟹ 本页推出
  满态射在自由空间上逐点检验

  （$\Longleftarrow$） 显然：若每个 $X(F) \to Y(F)$ 都满，则层之间的这个态射在每个自由对象上满，由「生成元集判定满态射」的一般道理即得它在 $\mathrm{Cond}$ 里是满态射。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $p : X \to Y$ 是满态射，先证它「局部满」。取像

  $$\operatorname{Im}(p)(S) := \{\, y \in Y(S) \ :\ \exists \text{ 覆盖 } (S_{i} \to S),\ \exists x \in X(S_{i}),\ p(x) = y|_{S_{i}} \,\}$$

  它是 $Y$ 的一个子层。由定义，$p$ 的每个值都落在 $\operatorname{Im}(p)$ 里，即 $\operatorname{Im}(p) \hookrightarrow Y$ 是满态射；而它同时是单态射，故（层里单满即同构）$\operatorname{Im}(p) = Y$。也就是说：$p$ 局部满。

  现在取 $F \in \mathbf{FCHaus}$ 与 $y \in Y(F)$。由局部满，存在 $F$ 的覆盖，在其每一块 $F_{i}$ 上有 $x_{i} \in X(F_{i})$ 使 $p(x_{i}) = y|_{F_{i}}$。$\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖由有限不交并给出，而 $F$ 是自由的、余积在它上面就是无交并，所以可以直接把有限块上的 $x_{i}$ 拼起来（这正是「保有限积」那一条）：

  $$x := (x_{i})_{i} \in \prod_{i} X(F_{i}) \;\cong\; X\Bigl(\coprod_{i} F_{i}\Bigr) \;=\; X(F)$$

  并且 $p(x) = y$。所以 $X(F) \to Y(F)$ 是满射。∎

  「满 = 局部满 = 局部可提升」是层论里的通用逻辑；而 $\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖是有限不交并，所以局部终于能拼成整体 —— 这就是为什么探针只需要自由对象。

定义引用 2

• 层 → 本页定义引用

  命题说的是凝聚态集（层）之间满态射的判据。

• 自由紧 Hausdorff 空间 → 本页定义引用

  探针取的是自由紧 Hausdorff 空间。