离散即常

命题：XX 离散   ⟺  \iff 常   ⟺  \iff 只依赖紧 Hausdorff 的离散商

prop.discrete-iff-constant · 命题 · 凝聚态集 · 离散 · 常层 · 离散商

又称Exercise 4.5

陈述

对凝聚态集 XX，三条等价：

  1. XX 是离散的：存在离散拓扑空间 EE 使 X≅E‾X \cong \underline{E}；
  2. XX 是常的：存在集合 EE 使 X≅E~X \cong \widetilde{E}（常层）；
  3. 对任何紧 Hausdorff 空间 SS，
X(S)  ≅  lim←⁡S↠S′X(S′),X(S) \;\cong\; \varprojlim_{S \twoheadrightarrow S'} X(S'),

其中 S′S' 跑遍 SS 的离散商。

说明

证明。 (1)  ⟺  \iff(2)：离散空间 EE 给出的凝聚态集取值是 E‾(S)=C(S,E)\underline{E}(S) = C(S, E)，也就是「SS 上的局部常值 EE-值映射」✓；而常层 E~\widetilde{E} 的取值按定义正是局部常值映射 ✓ —— 两个函子一致 ✓（见「拓扑空间上的常层就是离散空间的层」）。

(2)  ⟺  \iff(3)：局部常值映射只依赖 SS 的连通块结构，而这正是「沿 SS 的离散商取投影极限」读出来的信息 ✓；反过来若 X(S)=lim←⁡S↠S′X(S′)X(S) = \varprojlim_{S \twoheadrightarrow S'}X(S')，则 XX 只看得见离散商，等价于常 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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