Cond 的极限与余极限

说明

证明极限那一半。 层范畴 $\mathrm{Cond}$ 是预层范畴 $\widehat{\mathbf{CHaus}}$ 的反射满子范畴，含入函子 $i$ 有左伴随（层化）。右伴随保极限，所以 $i$ 保极限：$\mathrm{Cond}$ 里的极限就是预层里的极限；而预层里的极限是逐点算的。∎ 余极限为什么不行。 层化只是 $i$ 的左伴随，它不保余极限，所以余极限要先在预层里逐点取、再层化一次。 一个具体的反例。 取紧 Hausdorff 的满射 $F \twoheadrightarrow S$，例如 $S = S^{1}$、$F = S^{1}$、$z \mapsto z^{2}$。在 $\mathrm{Cond}$ 里，满射是有效满，所以

但逐点看 $T = S^{1}$：$F \times_{S} F = S^{1} \times \{\pm 1\}$，两个投影在 $\mathrm{Hom}(S^{1}, F) = \mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 上就是 $g \mapsto g$ 与 $g \mapsto -g$，于是逐点余等化子把 $\mathrm{id}$ 与 $-\mathrm{id}$ 粘了起来，是 $\mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 的一个真商；而 $h_{S}(S^{1}) = \mathrm{Hom}(S^{1}, S^{1})$ 里这两个元素并不相等。两者不同，故余极限不是逐点算的。

「逐点」是什么意思：要算一个凝聚态集，就得知道它在每个 $S$ 上取什么值。极限可以一路拆到每个 $S$ 上算；余极限不行，多一步层化。

⭐ 这条是后面所有计算的技术基础：凡是遇到 $\mathrm{Cond}$ 里的极限，都可以拆到每个 $S$ 上去算，而集合的极限是好算的。

⚠️ 有限余积是例外（它是逐点的）：$h_{S_{1}} \coprod h_{S_{2}} = h_{S_{1} \coprod S_{2}}$ —— 因为 $\coprod$ 正是预标准拓扑的覆盖，「有限余积变有限积」那条层条件直接给出它。