底函子保不交并

命题： $X = \coprod_{i} X_{i}$ $\implies$ $\underline{X} = \coprod_{i}\underline{X_{i}}$

命题
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态集

prop.underlying-preserves-coproduct · 命题 · 凝聚态集 · 不交并 · 余积 · 左伴随

又称Exercise 4.8

陈述

若拓扑空间 $X$ 是子空间的不交并 $X = \coprod_{i \in I} X_{i}$ ，则它的凝聚态集就是各块的凝聚态集在 $\mathrm{Cond}$ 里的余积：

\underline{X} \;=\; \coprod_{i \in I} \underline{X_{i}}.

说明

证明。 函子 $X \mapsto \underline{X}$ （ $\underline{X}(S) = C(S, X)$ ）是 $X \mapsto X(\cdot)$ 的左伴随 ✓，左伴随保余极限、特别地保余积 ✓。所以把拓扑空间的不交并送进 $\mathrm{Cond}$ ，得到的就是余积 ✓（ $\mathrm{Cond}$ 里的余积是「先取逐点不交并、再层化」，正是 $C(S, \coprod_i X_i)$ 的层化）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

底拓扑空间 → 本页定义引用

公式两边是同一条函子的取值。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.8

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