紧生成：弱 Hausdorff ⟺ 拟分离weak Hausdorff iff quasi-separated

说明

两个方向分别来自哪：「弱 Hausdorff $\implies$ 拟分离」是那条纤维积引理；「拟分离 $\implies$ 弱 Hausdorff」是底空间那条。紧生成是用来让「底空间」这个概念和 $X$ 自己对齐的。

⭐ 合起来的意义：在紧生成的范围里，「弱 Hausdorff」这个拓扑条件与「拟分离」这个层论条件说的是同一件事。于是 $\mathrm{CGWH}$ 这一整套同伦论的栖息地，在凝聚态世界里有了一个纯层论的名字。

证明。 两个方向各用一条引理：

• $\implies$：$X$ 紧生成且弱 Hausdorff，则视为凝聚态集时拟分离 —— 这正是「弱 Hausdorff $\implies$ 拟分离」那条纤维积引理。
• $\Longleftarrow$：$X$ 紧生成且拟分离，则底空间 $X(\bullet)$ 弱 Hausdorff；而 $X$ 紧生成意味着 $X(\bullet) \cong X$（紧生成空间的 $k$-化就是它自己，且它在凝聚态世界里由 $\underline{S} \mapsto \operatorname{Hom}(S, X)$ 决定），所以 $X$ 本身弱 Hausdorff。∎