开覆盖给出覆盖

说明

证明。 （一）$X = S$ 紧 Hausdorff。 开覆盖可取有限子覆盖，而紧 Hausdorff 是正规的，每块开集里含一个闭邻域、闭子集紧 ✓ —— 于是把开覆盖换成有限的紧覆盖，而「有限族拼起来等于全空间」正是 $\mathbf{FCHaus}$ 上预拓扑允许的覆盖 ✓。 （二）一般 $X$。 取 $f : S \to X$（$S$ 紧 Hausdorff），把覆盖拉回：$S = \bigcup_i f^{-1}(X_{i})$ 仍是开覆盖，由 (一) 得 $(S \times_{X} X_{i} \to S)_{i}$ 是 $S$ 的覆盖 ✓；覆盖沿覆盖下降（传递性），于是 $(X_{i} \to X)_{i}$ 是 $X$ 的覆盖 ✓。∎

⭐ 用处：$\mathrm{Cond}$ 里的覆盖可以直接用拓扑的开覆盖给出，这是后面「层在开集上算」的依据。