qc 与 qcqs 的判定

说明

这一条在说什么。 凝聚态集是「用紧 Hausdorff 空间探测出来的层」。这条定理说：探测得最规整的那批对象（qcqs 的），原来就是探测者自己。于是「紧 Hausdorff 空间」这个范畴可以原封不动地坐进 $\mathrm{Cond}$ 里，作为它的「紧块部分」。

第 1 条为什么用「自由」的 $F$。 「拟紧」的一般定义是「任何覆盖都有有限子覆盖」，这是纯逻辑条件。这条把它换成了一个几何条件：能从一个（无限可能是很大的）自由紧 Hausdorff 块满射过来。于是拟紧变成了「可以被一个紧 Hausdorff 块盖住」。

「自由」的含义：$\mathbb{Z}[S]$ 那类由点集生成、不带额外关系的东西 —— 装得上就是「有足够多的点去盖」。

⭐ 一般拓扑斯上的对应结论是「qcqs 对象 $\cong$ 紧 Hausdorff 对象」，这里做的是 $\mathrm{Cond}$ 这个特例。

证明（两条都是一般拓扑斯上的定理在 $\mathrm{Cond}$ 上的特例）。

• 第 1 条：「拟紧」在拓扑斯里的等价刻画是「存在从投射 / 自由对象的满射」—— 反向显然（满射 $F \twoheadrightarrow X$ 给出一个覆盖，用 $F$ 的参数化把有限子覆盖抽出来，因为自由对象 $F = \beta I$ 是「由点集生成」的，有限性是逐点的）；正向用 $\mathbf{FCHaus}$ 张成 $\mathbf{CHaus}$ 再把覆盖的参数压进一个自由对象。
• 第 2 条：qcqs 的对象由「它到各紧 Hausdorff 块的值」决定，而 $\mathrm{Cond}$ 里紧 Hausdorff 空间 $S$ 表示的层 $\underline{S} = h_{S}$ 正是 qcqs 的（qc 由 $S \to S$ 本身给出；qs 由「紧 Hausdorff 的两块相交还是紧 Hausdorff」给出）。于是 $S \mapsto \underline{S}$ 全忠实；本质满则是上一条与拟分离的刻画拼起来。∎