FCHaus 上的预拓扑

有限不交并给出自由紧 Hausforff 空间上的预拓扑

命题
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态集

prop.fchaus-pretopology · 凝聚态 · 自由 · 预拓扑

又称FCHaus 上的预拓扑·Exercise 4.1

陈述

记 $\mathbf{FCHaus}$ 为自由紧 Hausdorff 空间（即 $\beta I$ ）构成的满子范畴。 $\mathbf{FCHaus}$ 中的对象都是 $\mathrm{Cond}$ 的投射对象，满射 $S \to S'$ 总有截面 —— 于是有限不交并给出 $\mathbf{FCHaus}$ 上的一个预拓扑。

说明

为什么层条件「自动成立」：在自由紧 Hausdorff 空间上，满射有截面，所以「局部有原像」总能在整体上补出来（分离性由截面的存在直接给出）。能取截面是这里最省事的一点。

证明（验证预拓扑的三条公理）。 覆盖约定为： $(F_{i} \to F)_{i \in I}$ ， $I$ 有限且 $\coprod_{i} F_{i} \to F$ 双射。

恒等： $\{\mathrm{id}_{F}\}$ 是覆盖；
拉回稳定：给覆盖与任意 $F' \to F$ ，拉回族 $(F_{i} \times_{F} F' \to F')_{i}$ 仍然有限，且由「不交并沿任意映射拉回仍是不交并」得 $\coprod_{i}(F_{i} \times_{F} F') \cong F'$ ； $\mathbf{FCHaus}$ 对有限不交并与纤维积封闭（自由对象的有限不交并还是自由的： $\beta I \coprod \beta J = \beta(I \coprod J)$ ）；
复合：覆盖的覆盖拼起来还是覆盖。

另外， $\mathbf{FCHaus}$ 里的覆盖 $\coprod_{i} F_{i} \to F$ 是双射，于是每个 $F_{i} \to F$ 都是含入，而「 $F \to F_{i}$ 的截面」由 $F_{i}$ 的闭性 + 完全性给出 —— 这就是为什么这里的层条件好验。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Cond 即 FCHaus 上的层推出

$\mathrm{Cond} \simeq \widehat{\mathbf{FCHaus}}$

（限制） 设 $X$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 上的层，把它限制到 $\mathbf{FCHaus}$ 上。 $\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖更少（只有有限不交并），层的条件只会更容易满足，所以限制仍是层。∎
（延拓） 设 $X$ 是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层。对 $S \in \mathbf{CHaus}$ 定义
$X(S) := \varinjlim_{F \to S} X(F)$
指标跑在「自由紧 Hausdorff 空间到 $S$ 的映射」上（按加细取滤过余极限）。
这就是层的粘合。 由 $\mathbf{CHaus}$ 里每个对象都有自由表示 $\beta S^{\mathrm{disc}} \twoheadrightarrow S$ ，取 $R := \beta S^{\mathrm{disc}} \times_{S} \beta S^{\mathrm{disc}}$ 与满射 $\beta R \to R$ ，则
$X(S) \;=\; \varprojlim_{F \to S} X(F) \;\cong\; \ker\bigl(X(\beta S^{\mathrm{disc}}) \rightrightarrows X(\beta R)\bigr) \;=\; \{\, x : X(p_{1})(x) = X(p_{2})(x) \,\}$
正是「相容的一族截面」。
反过来赋值。 给定右边的一个 $x$ 与一个映射 $f : F'' \to S$ （ $F''$ 自由），由自由性 $f$ 可以提升为 $\widetilde{f} : F'' \to F$ （ $F \twoheadrightarrow S$ 是那个自由表示），定义
$x_{f} := X(\widetilde{f})(x) \in X(F'')$
提升的选取无关紧要。 若 $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ 是两个提升，则 $(\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}) : F'' \to F \times_{S} F$ 分解为 $p \circ f'$ （因为 $F' \twoheadrightarrow F \times_{S} F$ 满而 $F''$ 自由），于是
$X(\widetilde{f}_{1})(x) = X(f')\bigl(X(p_{1})(x)\bigr) = X(f')\bigl(X(p_{2})(x)\bigr) = X(\widetilde{f}_{2})(x)$
所以 $(x_{f})_{f}$ 良定义，即有一族相容截面， $\varphi(x) \in X(S)$ 。两个方向互逆，于是 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层与 $\mathbf{CHaus}$ 上的层是同一个范畴。∎
又由「 $\mathbf{FCHaus}$ 上的层 $\iff$ 保有限积」， $\mathrm{Cond}$ 也可以等价地定义为「 $\mathbf{FCHaus}$ 上保有限积的预层」。∎

换到 $\mathbf{FCHaus}$ 上的好处是：那里的满射都有截面，于是「层」退化成最朴素的一条 —— 保有限积。这是凝聚态数学里最常用的工作定义。

谁指向它（入边）

定义引用 2

自由紧 Hausdorff 空间 → 本页定义引用

预拓扑搭在自由紧 Hausdorff 空间上。
投射 / 内射对象 → 本页定义引用

「满射有截面」说的是这些对象投射。

参考

Le Stum, Exercise 4.1

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