可数递增余极限是拟分离的

命题： $X = \varinjlim_{n} S_{n}$ （含入、可数） $\implies$ 拟分离

命题
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态集

prop.countable-colimit-qseparated · 命题 · 凝聚态集 · 拟分离 · 滤过余极限 · 紧 Hausdorff

又称Exercise 4.12

陈述

若 $X = \varinjlim_{n \in \mathbb{N}} S_{n}$ 是一列紧 Hausdorff 空间沿含入 $S_{n} \hookrightarrow S_{n+1}$ 的拓扑余极限，则

$X$ 作为凝聚态集是拟分离的；
这个余极限在 $\mathrm{Cond}$ 里算也一样： $X \cong \varinjlim_{n} S_{n}$ 。

说明

证明。 由「拟分离 $\iff$ 含入过渡的滤过余极限」，含入过渡的滤过余极限总是拟分离的 ✓ —— 可数情形是它的特例。第二条是「元素从有限层来」：给紧 Hausdorff $T$ 与连续 $f : T \to X$ ，因为 $T$ 紧而 $\{S_{n}\}$ 是递增的开覆盖式的逼近， $f(T)$ 落在某个 $S_{n}$ 里 ✓（这正是「紧集只能看见有限层」），于是 $f$ 来自某个 $T \to S_{n}$ ✓。∎

⭐ 用处：局部紧 Hausdorff 空间就是这种可数递增余极限（取它的紧块），所以它们的凝聚态版本总是拟分离的。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 拟分离嵌入底空间推出

拟分离即含入过渡的滤过余极限 $\implies$ 嵌入底空间是单的

若 $X = \varinjlim_i S_{i}$ （含入过渡），则 $X(S) = \varinjlim_i \operatorname{Hom}(S, S_{i})$ ✓；两个元素映到底空间里同一个连续映射时，它们来自某个 $S_{i}$ ，而 $S_{i} \hookrightarrow X(\cdot)$ 是含入、特别地单射，故两个元素相等 ✓。于是 $X(S) \to C(S, X(\cdot))$ 单射，对每个紧 Hausdorff $S$ 成立即得单态射 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

拟分离对象 → 本页定义引用

结论说的就是拟分离。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 4.12

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