Cond 的满态射都是正则的epi regular

说明

在说什么。 一般的范畴里，「满态射」（右边可消）和「余等化子」（是某对映射的商）是两个不同的概念。拓扑斯里两者重合 —— 这就是为什么在拓扑斯里可以放心地「取商」：任何满态射都真的在商掉一个等价关系。

$X \times_{Y} X \rightrightarrows X$ 是什么：$X \times_{Y} X = \{\, (x, x') : f(x) = f(x') \,\}$ 是 $f$ 的核对；它的两个投影就是那对映射。余等化子就是把「被 $f$ 认同的点」粘起来 —— 粘出来的结果正好是 $Y$。

📌 这条与下一条（等价关系有效）是同一枚硬币的两面：这条说「商是良态的」，下一条说「每个等价关系都能当成某个商来出现」。

证明。 一般范畴里「满」与「有效满」是两个概念；拓扑斯里两者重合。

• 先看「$f$ 有效 $\implies$ $f$ 满」：有效满按定义是余等化子，而余等化子总是满的。
• 再看「$f: X \to Y$ 满 $\implies$ 有效」：令 $\bar f : \operatorname{coeq}(X \times_{Y} X \rightrightarrows X) \to Y$ 为余等化子的泛性质给出的映射，它是满的，且由余等化子的泛性质本身就单 —— 于是只需证 $\bar f$ 是满这一点在层论上「局部能验」。
• 具体验：满态射的局部判据说 $f$ 在自由紧 Hausdorff 对象上逐点满（$X(F) \to Y(F)$ 是满射）。取 $y \in Y(F)$，有原像 $x \in X(F)$；把 $x$ 送到余等化子，再送回来还是 $y$ —— 于是 $\bar f$ 在 $F$ 上满。$\bar f$ 单且满，故是同构，$f$ 是它自己核对对的余等化子。∎