自由紧 Hausdorff 空间

自由紧 Hausdorff 空间（Free Compact Hausdorff Space）

定义
依赖深度 layer 16
拓扑学
紧 Hausdorff 空间

def.free-compact-hausdorff · 范畴论 · 自由 · Stone–Čech

又称自由紧 Hausdorff 空间·free compact Hausdorff·FCHaus·Definition 2.2.1·Def 2.2.1·Exercise 2.11

陈述

自由紧 Hausdorff 空间就是某个离散空间 $I$ 的 Stone–Čech 紧化 $F \cong \beta I$ 。称 $I$ 是 $F$ 的一组基：此时

\operatorname{Hom}_{\mathbf{CHaus}}(F, S) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(I, S) \;=\; S^{I}

即连续映射 $F \to S$ 与 $S$ 中一族点 $(t_{i})_{i \in I}$ 一一对应。这族点使 $F \to S$ 成为满射时，叫 $F$ 的生成元。

说明

「自由」两个字在这里的含义和自由群、自由模完全一样：在 $I$ 上没有任何约束（ $I$ 是离散的，所以从 $I$ 出发的映射随便给点就是连续的），于是「 $F$ 到别处的映射」与「 $I$ 上的一族点」是一回事。

它指向谁（出边）

定义引用 7

紧 Haus 是自由的商用到本页定义引用

命题说的商空间正是从自由紧 Hausdorff 空间 $\beta S^{\mathrm{disc}}$ 商出来的。
自由紧 Haus 是投射对象用到本页定义引用

命题谈的是自由紧 Hausdorff 空间。
FCHaus 上的预拓扑用到本页定义引用

预拓扑搭在自由紧 Hausdorff 空间上。
FCHaus 上层的判据用到本页定义引用

命题谈的是自由紧 Hausdorff 空间上的层。
凝聚态集满态射的判据用到本页定义引用

探针取的是自由紧 Hausdorff 空间。
截面函子保极限余极限用到本页定义引用

截面函子 $\Gamma(F, -)$ 的 $F$ 取的是自由紧 Hausdorff 空间。
qc 与 qcqs 的判定用到本页定义引用

第 1 条要求满射来自自由紧 Hausdorff 空间。

谁指向它（入边）

定义引用 1

紧 Hausdorff 空间范畴 → 本页定义引用

自由紧 Hausdorff 空间是 $\mathbf{CHaus}$ 里的对象： $F \cong \beta I$ 。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §2.1–2.2

常见问法 2 条

Stone-Cech 紧化是什么也看紧 Haus 是反射子范畴、紧 Hausdorff 空间范畴
什么是拟紧的凝聚态集也看拟紧对象、qc 与 qcqs 的判定

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