截面函子保极限余极限sections functor

说明

理由：层在 $F$ 处的截面是「逐点」算出来的，而 $\mathbf{Ab}$ 里有限积与有限余积一致、滤过余极限正合。

这条是把 $\mathrm{CondAb}$ 的性质逐点归到 $\mathbf{Ab}$ 的通道 —— 下面的 AB 公理那一条就是靠它推出来的。

证明。 把 $\mathrm{CondAb}$ 等同于 $\mathbf{FCHaus}$ 上的阿贝尔层范畴（这是「$\mathrm{Cond} \simeq \widehat{\mathbf{FCHaus}}$」的加法版本）。

• 保余极限：只需证预层意义的余极限自动是层。$F$ 自由时，$\mathbf{FCHaus}$ 上的覆盖就是有限不交并，于是对 $\coprod_{j=1}^{r} F_{j}$：

中间一步用「$\mathbf{FCHaus}$ 上的层保有限积」（即 $M(\coprod F_{j}) = \bigoplus M(F_{j})$），最后一步用 $\mathbf{Ab}$ 里有限积与有限余积一致、且滤过余极限正合。既然余极限仍满足层条件，它就是层内的余极限，且 $\Gamma(F, -)$ 与它交换 ✓。

• 保极限：层范畴里的极限逐项计算（预层极限自动是层），故 $\Gamma(F, \varprojlim M_{i}) = \varprojlim \Gamma(F, M_{i})$ ✓。∎

⭐ 推论：$\Gamma(F,-)$ 还是正合的（既保核又保余核）—— 这正是「自由紧 Hausdorff 空间给投射对象」的根源。