CondAb 满足 AB6 与 AB4*

说明

推论：$\mathrm{CondAb}$ 是阿贝尔范畴，并且（1）有生成元；（2）所有极限与余极限存在；（3）所有积与余积都正合；（4）滤过余极限正合，且与积交换。

「是 Grothendieck 范畴」那一半其实对任意拓扑斯都成立（见「拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴」）；这里真正多出来的是 AB6 与 AB4\* —— 一般拓扑斯上的阿贝尔群并不同时具备这两条。

这一整段的好处是：$\mathrm{CondAb}$ 上能照搬 $\mathbf{Ab}$ 上那一套同调代数 —— 求导函子、长正合列、导出范畴，一样都不缺。

证明（逐条归约到 $\mathbf{Ab}$）。 关键工具就是上一条：每个 $\Gamma(F,-)$（$F$ 自由）都保所有极限与余极限，所以任何「用有限极限 + 余极限写出来的性质」都可以逐项检验，而逐项之后就是 $\mathbf{Ab}$ 里的熟事实。

• 有余极限 / 有极限：逐项取余极限得到的预层仍是层（上一条）$\implies$ 存在 ✓；
• 滤过余极限正合（AB5）：逐项算，$\mathbf{Ab}$ 里滤过余极限正合 ✓；
• 有生成元：$\mathrm{Cond}$ 由 $\{h_{F}\}$（$F$ 自由紧 Hausdorff）生成 $\implies$ $\mathrm{CondAb}$ 由 $\{\mathbb{Z}\cdot F\}$ 生成 ✓；
• AB4\*（积正合）：积逐项算，$\mathbf{Ab}$ 里积正合 ✓；
• AB6（滤过余极限与积交换）：逐项化归到 $\mathbf{Ab}$ 的 AB6 ✓；
• 阿贝尔：核、余核逐项算都是 $\mathbf{Ab}$ 里的核余核，单满分解、$\operatorname{im}\cong\operatorname{coim}$ 都逐项成立 ✓。∎