局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴pre-abelian

说明

⭐ 这条说明「拓扑阿贝尔群」这个范畴不够好：没法在里面做同调代数。这正是要把它搬进凝聚态那侧的理由 —— 那边是 Grothendieck 范畴，要什么有什么。

为什么核余核都造得出还是不行。 阿贝尔范畴要求「每个单态射都是某个态射的核」（等价地：单态射与其余核的核同构，即严格）。$\mathbb{R}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{R}$ 是单态射（它同构于自己的像），但它的余核是 $0$ —— 像在余核里被整个商掉了。于是「余核的核」不是原来的对象，严格性破掉。

证明。

• 预阿贝尔：有有限积与有限余积（积 = 积群配积拓扑；余积 = 直和配「余积拓扑」）、核与余核都存在 —— 核是通常的核配子空间拓扑；余核是 $N/f(M)$ 配商拓扑（商群配商拓扑仍是局部紧 Hausdorff，因为 $f(M)$ 未必闭、商掉的是它的闭包……取 $N/\overline{f(M)}$ 的那一套标准处理）✓。
• 不是阿贝尔：取 $\mathrm{id} : \mathbb{R}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{R}$。它连续（离散拓扑比欧氏拓扑细）且是单射，故是单态射；它的余核 $\mathbb{R}/\mathbb{R} = 0$。而阿贝尔范畴要求单态射是严格的，即 $f = \ker(\operatorname{coker} f)$ —— 这里 $\ker(0) = \mathbb{R}$，但 $\ker(0)$ 要带的拓扑是欧氏拓扑，而 $\mathbb{R}^{\mathrm{disc}}$ 不是它，二者同构但不相等（作为拓扑群的态射不同构）✗。∎

（等价的说法：$\mathrm{id}$ 同构于它的像，但不是「余核的核」，于是单满分解不是严格的。）