拓扑阿贝尔群正合列的搬运

拓扑正合列 $\implies$ 凝聚态正合列

prop.exact-sequence-topo-ab · 凝聚态 · 正合列 · 弱 Hausdorff · 紧子集

又称Proposition 6.2.3·Prop 6.2.3·正合列的搬运·紧提升

陈述

设

0 \longrightarrow M' \xrightarrow{\;u\;} M \xrightarrow{\;v\;} M'' \longrightarrow 0

是拓扑阿贝尔群的正合列， $M''$ 弱 Hausdorff，并且满足：

（紧提升条件） 对每个紧 Hausdorff $K'' \subseteq M''$ ，存在紧 Hausdorff $K \subseteq M$ 使 $K'' \subseteq v(K)$ 。

则凝聚态阿贝尔群的正合列

0 \longrightarrow \underline{M'} \xrightarrow{\;\underline{u}\;} \underline{M} \xrightarrow{\;\underline{v}\;} \underline{M''} \longrightarrow 0

也正合。

左正合是自动的（上一条函子保所有极限）；右端要的是「 $\underline{v}$ 是满态射」，而凝聚态里满态射的判据就是「对自由紧 Hausdorff 空间逐点满」，于是归结为紧提升条件。

📌 局部紧时紧提升条件自动满足 —— 所以对局部紧阿贝尔群，正合列可以整条搬过去。

证明。

左正合：函子 $M\mapsto\underline{M}$ 保所有极限（上一条），于是 $0\to\underline{M'}\to\underline{M}$ 正合、且 $\underline u$ 是单射 ✓。
中段的像 = 核： $v\circ u = 0$ 逐点成立；反向「 $v(m) = 0 \implies m\in u(M')$ 」逐点由拓扑正合列给出 ✓。
右端满：由满态射判据（在自由紧 Hausdorff 对象上逐点满），取自由 $F$ 与 $y : F \to M''$ 。 $y(F)$ 是 $M''$ 里的紧 Hausdorff 子集（ $F$ 紧、 $M''$ 弱 Hausdorff 故 $y(F)$ 闭且 Hausdorff）；由紧提升条件取紧 Hausdorff $K\subseteq M$ 使 $y(F)\subseteq v(K)$ 。对每点挑一个原像，得到映射 $F\to K\to M$ ；连续性由「 $v$ 在紧块上是商映射」（拓扑正合列里 $v$ 是商映射，限制到 $K$ 、 $y(F)$ 上仍是商映射）给出。于是 $y$ 在图下提升， $\underline v(F)$ 满 ✓。∎