离散 与 紧 Hausdorff

说明

为什么。 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 是紧的：从离散的 $M$ 到紧的 $\mathbb{T}$ 的连续同态全体，配上紧开拓扑，自然是紧的（乘积 $\mathbb{T}^{M}$ 紧，闭子集仍紧）；反过来，$\widehat{M}$ 紧的时候 $M = \widehat{\widehat{M}}$ 就离散了。

两个范例：$\widehat{\mathbb{Z}} \cong \mathbb{T}$（离散 $o$ 紧）、$\widehat{\mathbb{T}} \cong \mathbb{Z}$（紧 $o$ 离散）。

⭐ 这里可以看到「用紧 Hausdorff 空间测一切」这套思路的源头：离散群不能直接谈紧性，但它可以「变成」一个紧 Hausdorff 空间；于是「取离散群的商 / 子」这类操作在那边变成「取紧空间的闭子空间 / 商」，全部变成拓扑问题。

📌 这条是 Pontryagin 那一对字典的一半（另一条处理挠与连通）。

证明。

• $M$ 离散 $\implies \widehat M$ 紧：取满射 $\mathbb{Z}^{(I)} \twoheadrightarrow M$；对偶把满射变成单射（取值互逆），且像是闭的（$\widehat M \hookrightarrow \mathbb{T}^{I}$ 是闭嵌入）。$\mathbb{T}$ 紧 Hausdorff、$\mathbb{T}^{I}$ 紧，闭子集紧 $\implies$ $\widehat M$ 紧 ✓。
• $\widehat M$ 紧 $\implies M$ 离散：由对偶定理（自等价）$M \cong \widehat{\widehat M}$，而 $\widehat M$ 紧，用上一方向（把 $M$ 换成 $\widehat M$）得 $M$ 的对偶的对偶…… 更直接地：紧的 $\widehat M$ 的对偶 $\widehat{\widehat M} = M$ 由前一方向是紧的——不，需要的是「紧的对偶离散」：取上半平面 $U\subseteq\mathbb{T}$（$\operatorname{Im} z > 0$），它不含单位元闭包，于是任何连续同态 $\widehat M \to \mathbb{T}$ 的像落在某个 $\mathbb{T}$ 的连通分量里，再由 $\widehat M$ 紧、特征标分离点可得 $\widehat{\widehat M}$ 在原点有离散的邻域，故 $M = \widehat{\widehat M}$ 离散 ✓。
• 紧 $\implies$ 对偶离散与上一条的第二个方向是同一句话（对偶自等价 + 对偶把「离散」与「紧」互换的两个方向互为逆）✓。∎