Hausdorff 拓扑阿贝尔群的核与余核

说明

证明。 1. 核是 $f$ 与 $0$ 的等化子；在拓扑阿贝尔群里等化子就是 $\{x : f(x) = 0\}$ 配子空间拓扑（$f$ 连续而 $N$ 是 Hausdorff，所以这个集合闭）✓。余核是余等化子：$\mathbf{AbHaus}$ 里的商必须仍然 Hausdorff，而 $N/f(M)$ 只有在 $f(M)$ 闭时才 Hausdorff，故余等化子只能是 $N/\operatorname{cl}(f(M))$（带商拓扑）✓ —— 一般连续同态的像不必闭（$\mathbb{Z}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{Z}^{\mathrm{coarse}}$ 的像稠密而不闭），所以闭包不能省；像已经闭时就退化成 $N/f(M)$ ✓。 2. 「核」是带子空间拓扑的那个等化子，所以它作为映射必然是到闭子群上的同胚嵌入 ✓；反过来，闭嵌入 $\varphi : M' \to M$ 恰好是 $\varphi$ 与 $0$ 的等化子（等化子带的就是子空间拓扑，像闭保证商/余核那边也对）✓。余核那条同理：商映射是开满射 ✓，反之开满射正是它自己核的余等化子 ✓ —— 「开」不能省：$\mathbb{Z}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{Z}^{\mathrm{coarse}}$ 满，但不是余核。 3. 若列严格正合，则 $\varphi$ 实现 $\ker\psi$、$\psi$ 实现 $\operatorname{coker}\varphi$，由 2 得 $\varphi$ 闭嵌入、$\psi$ 开满射 ✓。反过来，若作为抽象群正合、且 $\varphi$ 闭嵌入、$\psi$ 开满射，则 $\varphi$ 与「$\psi^{-1}(0)$ 带子空间拓扑」一致、$\psi$ 与「商去 $\operatorname{cl}\varphi(M)$」一致，而 $\varphi(M)$ 闭、故就是商去像 ✓。于是这条列是核-余核列，即严格正合 ✓。∎

⭐ 「严格」不是装饰：在拓扑阿贝尔群里，「正合」与「严格正合」是实打实的差别 —— 拓扑阿贝尔群不是阿贝尔范畴，缺的正是「每个态射都由它的核与余核刻画」这一条。凝聚态数学把这一层补回来的方式，是把拓扑群嵌进 $\mathrm{CondAb}$。