拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态

说明

构造：一个拓扑阿贝尔群 $M$ 给出凝聚态阿贝尔群

即「从紧 Hausdorff 空间 $S$ 到 $M$ 的连续映射集」（逐点加法）。因为 $M$ 是拓扑阿贝尔群、$C(S, M)$ 按逐点加法是阿贝尔群，这是阿贝尔群值预层；层条件是「粘合连续映射」，成立。

保所有极限来自定理「$\mathbf{Top} \to \mathrm{Cond}$ 保有限积」：凝聚态里的极限逐点算，而连续映射的极限在 $\mathbf{Top}$ 里算和逐点算一致。

⭐ 这一条的实际用途：把拓扑问题搬进凝聚态这一侧，用那里的同调代数（长正合列、求导函子）去算，再搬回来。代价是丢失信息 —— 忠实但不一定满，所以「凝聚态地相等」比「拓扑地相等」更弱。

证明（照书：形式上来自「拓扑空间到凝聚态集」那条定理）。 对拓扑阿贝尔群 $M$，记 $\underline{M}(S) := C(S, M)$，逐点取加法，得到 $\mathrm{CondAb}$ 的对象 ✓（层条件是「连续映射的粘合」，逐点成立）。

• 忠实：$f \ne g : M \to N$ 时取一点 $m$ 使 $f(m)\ne g(m)$，则在 $\underline{M}(\bullet)$ 上 $f,g$ 已经不同 ✓（用测试对象 $\bullet$ 这一个点就够）。
• 保所有极限：凝聚态侧的极限逐项计算，而 $C\bigl(S, \varprojlim_{i} M_{i}\bigr) = \varprojlim_{i} C(S, M_{i})$ —— 拓扑阿贝尔群的极限（积 / 核 / 等化子）里「连续映射由各分量连续决定」✓。逐项取极限得到的仍是层，故它就是 $\mathrm{CondAb}$ 里的极限 ✓。
• 紧生成那一部分全忠实：由 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(\underline{X}, \underline{Y}) = C(X, Y)$（紧生成情形，见「内部 Hom 的函数空间刻画」），把 $X, Y$ 取成紧生成的拓扑阿贝尔群、并把同态条件一并带上即得。∎

⚠️ 反向没有伴随：函子 $X \mapsto X(\bullet)$ 不保积（$\mathrm{CGWH}$ 不是对任意积封闭），所以这个嵌入没有现成的伴随 —— 这也是「凝聚态地相等更弱」的技术原因。