紧阿贝尔群的两项消解

命题：紧 Hausdorff 阿贝尔群有两项连通消解

命题
依赖深度 layer 19
凝聚态数学
拓扑阿贝尔群

prop.chaus-two-term-resolution · 命题 · Pontryagin 对偶 · 紧阿贝尔群 · 连通

又称紧阿贝尔群的两项消解·Exercise 6.10

陈述

设 $M$ 是紧 Hausdorff 阿贝尔群。则存在短正合列（一个「两项消解」）

0 \longrightarrow M \longrightarrow M_{0} \longrightarrow M_{1} \longrightarrow 0

其中 $M_{0}$ 、 $M_{1}$ 都是连通的紧 Hausdorff 阿贝尔群。

说明

证明（对偶过去再对偶回来）。 记 $\widehat{M} = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(M, T)$ 为 Pontryagin 对偶（ $T = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ），由 Pontryagin–van Kampen 对偶， $M$ 紧 $\iff$ $\widehat{M}$ 离散 ✓。 ① 对离散的一侧造一个满射。 取 $\widehat{M}$ 的一组生成元 $(e_{i})_{i \in I}$ ，得满射

\mathbb{Z}^{(I)} \twoheadrightarrow \widehat{M} ✓

（自由离散群是离散群的投射覆盖。） ② 对偶回来。 Pontryagin 对偶把满射换成单态射、把自由离散群 $\mathbb{Z}^{(I)}$ 换成 $T^{I}$ ✓，于是

M \hookrightarrow T^{I}, \qquad M_{0} := T^{I} \text{ 连通（$T$ 连通，连通空间的积连通）}\;\checkmark

③ 商也是连通的。 令 $M_{1} := M_{0}/M$ 。对偶这条短正合列

0 \to M \to M_{0} \to M_{1} \to 0 \quad\leadsto\quad 0 \to \widehat{M_{1}} \to \mathbb{Z}^{(I)} \to \widehat{M} \to 0,

其中 $\widehat{M_{1}}$ 是自由离散群 $\mathbb{Z}^{(I)}$ 的子群，因而本身也是自由离散群 $\cong \mathbb{Z}^{(J)}$ ✓（PID 上自由模的子模自由）。再对偶回来： $M_{1} \cong T^{J}$ ✓ —— 连通（并紧）✓。两部分合起来就是所求的两项消解 ✓。∎

⭐ 用处：把「紧阿贝尔群」化归成「连通紧阿贝尔群」。例如算 $\operatorname{RHom}$ 时，中间项与右端项都是连通的，于是可以用连通情形的结论（连通时只剩 $0$ 次与 $1$ 次 Ext）把高次 Ext 一次性掐掉。

谁指向它（入边）

定义引用 2

Pontryagin 对偶 → 本页定义引用

整个证明就是在 Pontryagin 对偶两侧来回搬运。
Pontryagin–van Kampen 对偶 → 本页定义引用

「紧 $\iff$ 对偶离散」用的是 Pontryagin–van Kampen 对偶。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §6.2

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