商群在凝聚态意义下一致

命题：M/N‾≅M‾/N‾\underline{M/N} \cong \underline{M}/\underline{N}（NN 闭）

prop.cond-quotient-topological · 命题 · 凝聚态阿贝尔群 · 商群 · 闭子群

又称Exercise 6.5

陈述

设 NN 是局部紧 Hausdorff 阿贝尔群 MM 的闭子群。则拓扑商群的凝聚态版本与凝聚态商的商一致：

M/N‾  ≅  M‾/N‾.\underline{M/N} \;\cong\; \underline{M}\big/\underline{N}.

说明

证明。 正合列 0→N→M→M/N→00 \to N \to M \to M/N \to 0 里，NN 闭保证 M/NM/N 是 Hausdorff 的局部紧群 ✓；而「拓扑阿贝尔群 ↦\mapsto 凝聚态阿贝尔群」是保所有极限的函子 ✓，它把商的余核送到余核 ✓。于是拓扑意义下的商与凝聚态意义下的商对上 ✓。∎

📌 用处：算凝聚态阿贝尔群时，可以先在拓扑这一侧把商算好再离散化。

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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