离散函子保直和

命题： $\bigl(\bigoplus_{i} M_{i}\bigr)^{\mathrm{disc}} \cong \bigoplus_{i} M_{i}^{\mathrm{disc}}$

prop.discrete-functor-coproduct · 命题 · 凝聚态阿贝尔群 · 离散 · 直和 · 左伴随

又称Exercise 6.3

陈述

设 $(M_{i})_{i \in I}$ 是一族阿贝尔群。则

\Bigl(\bigoplus_{i \in I} M_{i}\Bigr)^{\mathrm{disc}} \;\cong\; \bigoplus_{i \in I} M_{i}^{\mathrm{disc}},

其中 $(-)^{\mathrm{disc}}$ 是把阿贝尔群看成离散凝聚态阿贝尔群。

证明。 $(-)^{\mathrm{disc}}$ 是遗忘函子的左伴随 ✓，左伴随保余极限、特别地保直和 ✓。∎

⚠️ 对积不成立： $(-)^{\mathrm{disc}}$ 是左伴随，一般不保积 —— 这正是「离散化会把无限直积换成直和」的那件事。