Grothendieck 的 AB 公理
Grothendieck 的 AB 公理（AB1–AB6）
- 定义
- 依赖深度 layer 17
- 同调代数
- 加法与阿贝尔范畴
def.ab-axioms · 同调代数 · AB 公理 · 正合
又称AB 公理·AB 公理的例子·Definition 5.2.5
陈述
范畴 的正合性等级（Grothendieck 的 AB 公理）逐条加强如下：
- AB1：预阿贝尔范畴；
- AB2：阿贝尔范畴；
- AB3：AB2 且有所有余极限（AB3\* 是对偶）；
- AB4：AB3 且余积正合（AB4\* 是对偶）；
- AB5：AB4 且滤过余极限正合（AB5\* 是对偶）；
- AB6：AB5 且滤过余极限与积交换（AB5\* 是对偶）。
说明
一个字读法：头两条补的是「态射有没有核与余核、单满正不正则」；后面几条一路在补「越来越多的余极限操作是正合的、并且和别的操作交换」。
⭐ 这些公理之间还有蕴含关系（见「AB5 与 AB3/AB4 的关系」）：Grothendieck 范畴自动满足 AB3\；AB5 与 AB5\ 互斥（除零范畴外不能同时成立）；拓扑斯上的 停在 AB5 + AB3\，而 能上到 AB6 + AB4\。
⭐ 哪些范畴落在哪一级是另一条独立的事，见「AB 公理的例子表」—— 那张表把 、、、预层范畴、拓扑斯上的阿贝尔群、 全部排了一遍。
⚠️ 这条只给定义与名字：AB 公理是一把尺子，用来量「一个范畴能做多少同调代数」。真正有用的是把它用在具体范畴上得到的结论（即上面两条）。
它指向谁（出边）
定义引用 5
-
AB6 与 AB4\* 的含义见「Grothendieck 的 AB 公理」那条。
-
Grothendieck 范畴 = AB5 范畴 + 一个生成元。
-
它正是 AB 公理里的 AB6。
-
结论讲的是 AB 公理之间的蕴含关系。
-
整张表列的是各类范畴满足哪些 AB 公理。
谁指向它（入边）
定义引用 4
-
AB1 = 预阿贝尔、AB2 = 阿贝尔 —— 前两条就是这两个词。
-
AB3 及以后要求「有所有余极限」，AB3\* 是其对偶。
-
AB4 说余积正合，AB6 说滤过余极限与积交换。
-
AB5、AB6 的差别全在滤过余极限上：前者要它正合，后者还要它与积交换。
参考
- Le Stum, Definition 5.2.5
常见问法 2 条
- AB5 和 AB3* 什么关系也看 AB5 与 AB3*/AB4* 的关系、Grothendieck 范畴
- 哪些范畴满足哪些 AB 公理也看 AB 公理的例子表、CondAb 满足 AB6 与 AB4*
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