分裂短正合列

说明

等价判据（在阿贝尔范畴里，三条等价）：

• $i_{2}$ 有截面 $s : M_{2} \to M$（$i_{2} \circ s = \mathrm{id}$）；
• $i_{1}$ 有收缩 $r : M \to M_{1}$（$r \circ i_{1} = \mathrm{id}$）；
• $M \cong M_{1} \oplus M_{2}$ 与这个列相容。

证明。 记 $i := i_{1}$、$p := i_{2}$，则 $i$ 单、$p$ 满且 $\operatorname{im} i = \ker p$。

• 有截面 $\implies$ 分裂：设 $p s = 1_{M_{2}}$。则 $p(1_{M} - s p) = p - p s p = 0$，故 $1_{M} - sp$ 落在 $\ker p = \operatorname{im} i$ 里，于是存在 $r : M \to M_{1}$ 使

由 $i$ 单：$i(r i) = (1_{M} - sp)\,i = i - s(p i) = i$（用了 $p i = 0$），故 $r i = 1_{M_{1}}$ ✓。与 $p i = 0$ 合起来，$p_{1} := r$、$i_{1} := i$、$p_{2} := p$、$i_{2} := s$ 满足双积的三条等式（$r i = 1$、$p s = 1$、$i r + s p = 1_{M}$，见「直和就是积」），即 $M$ 就是 $M_{1} \oplus M_{2}$，该列分裂 ✓。

• 分裂 $\implies$ 有截面：分裂时该列同构于 $0 \to M_{1} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{1}\ } M_{1} \oplus M_{2} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{2}\ } M_{2} \to 0$，而 $\mathrm{pr}_{2}$ 有显然的截面（到第二个分量的含入），沿同构搬回去就得到 $p$ 的截面 ✓。
• 对偶：把同一论证搬到 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$，得「分裂 $\iff$ $i$ 有收缩」✓。∎

⭐ 这就是「分裂引理」（split lemma）：在加法范畴里，「短正合列分裂」与「有截面」与「是直和」是同一件事。它把列论的问题化成直和的问题 —— 这是同调代数里最常用的一步化简。

⚠️ 短正合列一般不分裂（$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ 就不分裂）—— 分裂是特殊情形，判断它分不分裂正是 $\operatorname{Ext}^{1}$ 要回答的问题。