零对象与终对象

说明

证明。 预加性给每个 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 一个阿贝尔群结构，且复合双线性 —— 于是零态射永远存在（它就是群的单位元），并且由双线性把 $0 + h = h$ 展开得

终对象 $\implies$ 零对象：$M$ 终对象时 $\operatorname{End}(M) = \{1_{M}\}$ 只有一个元素；而它是阿贝尔群，群里的唯一元素必是单位元，故 $1_{M} = 0_{M}$ ✓。 零对象 $\implies$ 终对象：设 $1_{M} = 0_{M}$。任给 $X$ 与 $f, g : X \to M$，由双线性

故 $f = g$：$\operatorname{Hom}(X,M)$ 至多一个元素，而它非空（有零态射），所以 $M$ 是终对象 ✓。 始对象：把整个论证搬到 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 即可 ✓。∎

⭐ 于是「零对象」有两条等价说法：$\operatorname{End}(M) = 1$（$1_{M} = 0_{M}$），以及「既是终对象又是始对象」—— 在预加性范畴里它们完全等价，可以随意挑方便的那条用。