k-化与积

说明

两式的差别正好是余反射子范畴的两个层次：一般情形下 $k$ 不是「积封闭」的，得对积再取一次 $k$；$Y$ 局部紧 Hausdorff 时（由商映射与积那条定理）$k$ 与「乘 $Y$」可交换。这就是为什么 $k\mathbf{Top}$ 里的乘积得取 $k(X \times Y)$ 而不是 $X \times Y$。

证明（第一式）。 $k$-拓扑由「哪些紧 Hausdorff 块映射连续」决定，而关键是一条逐点事实：

• 对 $T$ 紧 Hausdorff，$g : T \to X$ 连续 $\iff$ $g : T \to kX$ 连续。 反正向显然（$kX$ 拓扑更细）；正向因为 $kX$ 的开集就是这么定义的：$U \subseteq kX$ 开 $\iff$ 沿每个紧 Hausdorff 映射的拉回开，取 $g$ 即得 $g^{-1}(U)$ 开。
• 于是对 $T$ 紧 Hausdorff：$(g_{1}, g_{2}) : T \to X \times Y$ 连续 $\iff$ $g_{1} : T\to X$ 与 $g_{2} : T \to Y$ 都连续 $\iff$ $g_{1} : T \to kX$ 与 $g_{2}$ 都连续 $\iff$ $T \to kX\times Y$ 连续。
• 两张 $k$-拓扑 $k(X\times Y)$ 与 $k(kX\times Y)$ 由同一族测试映射（全体 $T \to$ 该底集合，$T$ 紧 Hausdorff）的连续性刻画，故它们的开集族相同，即 $k(kX\times Y) = k(X\times Y)$。

第二式：由上一条「$X$ 紧生成、$Y$ 局部紧 Hausdorff $\implies$ $kX \times Y$ 紧生成」得 $kX\times Y$ 已经是紧生成的，对它取 $k$ 不再改变：$k(kX\times Y) = kX\times Y$；代入第一式即得 $kX\times Y = k(X\times Y)$。∎